Question

17．如图所示，A、B两个完全相同的小球用两根细线L₁、L₂栓在同一点O并在同一水平面内做匀速圆周运动，两细线与竖直方向的夹角分别为60°和30°，求：
（1）细线L₁、L₂的拉力之比$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$；
（2）小球A、B做圆周运动的线速度大小之比$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）由小球在竖直方向上受力平衡即可得到拉力与重力的关系，进而得到两拉力之比；
（2）受力分析可得小球做圆周运动的向心力，再根据圆周运动的半径，就可求取线速度，进而得到两线速度之比．

解答 解：（1）小球在同一水平面内做匀速圆周运动，故小球在竖直方向上合外力为零，所以F₁cos60°=mg，F₂cos30°=mg；
所以，$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\frac{cos30°}{cos60°}=\sqrt{3}$：1；
（2）设O点到小球运动平面的距离为L，
由小球只受重力和绳子拉力作用及（1）可知，小球A的向心力为mgtan60°，半径为Ltan60°；小球B的向心力为mgtan30°，半径为Ltan30°；
所以有，$mgtan60°=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{Ltan60°}$，$mgtan30°=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{Ltan30°}$；
所以，$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{tan60°}{tan30°}=3$：1；
答：（1）细线L₁、L₂的拉力之比$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$为$\sqrt{3}$：1；
（2）小球A、B做圆周运动的线速度大小之比$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$为3：1．

点评 在匀速圆周运动的相关问题中，一般先对物体进行受力分析求取向心力，进而求解速度、角速度、周期与半径的关系．