Question

14．质量m=1吨的汽车通过圆形拱形桥时的速率恒定，拱形桥的半径R=5m．试求：
（1）汽车在最高点对拱形桥的压力为车重的一半时汽车的速度；
（2）汽车在最高点对拱形桥的压力为零时汽车的速度．

Answer 1

分析 （1）在拱形桥最高点，根据重力和桥面的支持力的合力提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律和向心力公式，求出汽车的速度．
（2）汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，仅靠重力提供向心力，再根据牛顿第二定律和向心力公式，求出汽车的速度．

解答 解：（1）汽车在最高点时，竖直方向受重力和支持力，其合力提供向心力，由向心力公式得：
 mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由题意有：N=0.5mg
联立得：$\frac{1}{2}$mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：v=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$=$\sqrt{\frac{1}{2}×10×5}$m/s=5m/s
（2）汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，汽车在竖直方向只受重力，由重力提供向心力，由向心力公式得：
 mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
代入数据得：v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×5}$m/s=5$\sqrt{2}$m/s
答：（1）汽车在最高点对拱形桥的压力为自身车重一半时，汽车的速度是5m/s．
（2）汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，汽车的速度是5$\sqrt{2}$m/s

点评 解决本题的关键知道汽车过拱桥时，在最高点，靠重力和支持力的合力提供向心力，若支持力为0，由重力提供向心力．