Question

4．如图所示，空间存在竖直向下的有界匀强磁场B，一单匝边长为L，质量为m的正方形线框abcd放在水平桌面上，在水平外力作用下从左边界以速度v匀速进入磁场，当cd边刚好进入磁场后立刻撤去外力，线框ab边恰好到达磁场的右边界，然后将线框以ab边为轴，以角速度ω匀速翻转到图示虚线位置．已知线框与桌面间动摩擦因数为μ，磁场宽度大于L，线框电阻为R，重力加速度为g，求：
（1）当ab边刚进入磁场时，ab两端的电压U_ab；
（2）水平拉力F的大小和磁场的宽度d；
（3）匀速翻转过程中线框产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）ab边相当于电源，根据切割公式求解感应电动势，根据闭合电路欧姆定律求解ab两端的电压U_ab；
（2）根据安培力公式求解安培力，根据平衡条件求解拉力；根据运动学公式求解磁场的宽度d；
（3）匀速进入磁场过程是恒定电流，根据焦耳定律求解焦耳热；根据功能关系求解摩擦产生的热量；最后翻转过程是正弦式交流电，先根据E_m=NBSω求解最大值，得到有效值，最后根据焦耳定律求解热量Q．

解答 解：（1）ab边相当于电源，根据切割公式，有：
 E=BLv                                                    
根据闭合电路欧姆定律，有：
 I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{R}$                                                     
根据欧姆定律，有：
 U_ab=I×$\frac{3}{4}$R=$\frac{3}{4}$BLv                                               
（2）根据平衡条件，有：
 F=F_A+μmg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$+μmg
撤去拉力后，线框匀减速运动，加速度为-μg，根据速度位移关系公式，有：
 x₁=$\frac{{v}^{2}}{2μg}$
所以：d=L+$\frac{{v}^{2}}{2μg}$                                                
（3）
线框在绕ab轴翻转过程中，E_m=BL²ω，有效值：
 E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BL²ω
时间 t=$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{2ω}$
产生焦耳热：
 Q=I²Rt=$\frac{{E}^{2}}{R}$t=$\frac{π{B}^{2}{L}^{4}ω}{4R}$；
答：
（1）当ab边刚进入磁场时，ab两端的电压U_ab为$\frac{3}{4}$BLv；
（2）水平拉力F的大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$+μmg，磁场的宽度d为L+$\frac{{v}^{2}}{2μg}$；
（3）整个过程中产生的总热量Q为$\frac{π{B}^{2}{L}^{4}ω}{4R}$；

点评 本题关键是将线框的运动过程分为匀速、匀减速、转动三个过程进行分析，注意最后的翻转过程是正弦式交流电．