Question

3．如图所示，从放射源P放射出一束带电荷量为+q、质量为m（不计重力）、速率不同的带电粒子，从小孔Q垂直于N板进入N板右侧的匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ=45°，小孔Q到板的下端C的距离为L，已知速率最大的粒子恰好垂直打在CD板上，则下列说法正确的是（　　）

• A． 粒子在磁场中运动的最短时间为$\frac{πm}{4qB}$
• B． CD板上可能被粒子打中的区域的长度为（2-$\sqrt{2}$）L
• C． 粒子在从磁场中运动的最长时间为$\frac{πm}{4qB}$
• D． 粒子在磁场中运动的最大速率为v_m=$\frac{qBL}{m}$

Answer 1

分析 根据粒子在磁场中做匀速圆周运动求得其运动周期，然后分析随速度变化，粒子运动的变化，包括轨迹即中心角的变化，进而求解．

解答 解：粒子在磁场中运动，洛伦兹力作向心力，则有：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$；
所以，$R=\frac{mv}{Bq}$，则粒子做圆周运动的周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{Bq}$；
当粒子速度v较小时，粒子在QC之间离开此场，此时，粒子转过的中心角为180°；v增大，直到粒子运动轨迹与CD相切，粒子开始打在CD板上；v继续增大直至最大速度，则粒子打在CD板上的位置上移，且中心角一直减小．
A、粒子在磁场中运动的最短时间对应于粒子运动的中心角最小，即v最大，粒子垂直打在CD板上时，

此时中心角为45°，所以，运动时间为$\frac{45°}{360°}T=\frac{1}{8}T=\frac{πm}{4Bq}$，故A正确；
B、当粒子运动轨迹与CD相切时，

有$R+\sqrt{2}R=L$，所以，粒子打在CD板上的点距离C点为$R=\frac{1}{1+\sqrt{2}}L=（\sqrt{2}-1）L$；
由A可知，速度最大时，粒子打在CD板上的点距离C点L，所以，CD板上可能被粒子打中的区域的长度为$L-（\sqrt{2}-1）L=（2-\sqrt{2}）L$，故B正确；
C、粒子在磁场中运动的中心角最大为180°，所以，粒子在磁场中运动的最长时间为$\frac{1}{2}T=\frac{πm}{Bq}$，故C错误；
D、粒子在磁场中运动的速率最大时，半径R=L，所以，${v}_{max}=\frac{BqR}{m}=\frac{BqL}{m}$，故D正确；
故选：ABD．

点评 在求解粒子在匀强磁场中的运动问题时，要充分应用几何关系，利用几何图形来帮助理解，尤其是在求边界等关于临界问题时，常用到圆与直线相切则该点径向与直线垂直的关系．