Question

2．如图所示，两个水平固定轴A和B在同一竖直线上，相距为L，光滑细杆AC和BD分别可以绕其固定轴A和B在竖直平面内转动．现将一质量为m的小环套在两杆上，使∠BAC=$\frac{π}{2}$，∠ABD=$\frac{π}{6}$．若在此状态下让细杆AC和BD分别以相同的匀角速度ω绕轴A和轴B在竖直平面内沿逆时针方向转动，当小环运动到B点处（未与B接触）．求：
（1）小环的速度大小；
（2）二细杆对小环的作用力的合力大小．

Answer 1

分析 AC与BD均以角速度ω同方向转动，故∠BEA在运动中保持不变，而AB为定值，故动点E在ABC的外接圆上运动，根据圆周运动的公式即可求得

解答 解：（1）设AC与BD交点为E，因为AC与BD均以角速度ω同方向转动，故∠BEA在运动中保持不变，而AB为定值，故动点E在ABC的外接圆上运动，初始时∠BEA=$\frac{π}{2}$，即BE为外接圆的直径，半径R=$\frac{L}{\sqrt{3}}$，在时间t内AE转过了ωt角度，此段弧长对应圆心角为2ωt，说明动点在圆周上做匀速率运动，角速度为2ω，v=2ωR=$\frac{2Lω}{\sqrt{3}}$，
（2）产生的向心加速度为a=（2ω）²R=$\frac{4L{ω}^{2}}{\sqrt{3}}$，向心力F=ma，G=mg，接近B点时杆对环的作用力为F和G的合力，T²=F²+G²-2FGcos$\frac{π}{6}$，
解得T=m$\sqrt{\frac{16{L}^{2}{ω}^{4}}{3}+{g}^{2}-4gL{ω}^{2}}$，
答：（1）小环的速度大小为=$\frac{2Lω}{\sqrt{3}}$；
（2）二细杆对小环的作用力的合力大小为m$\sqrt{\frac{16{L}^{2}{ω}^{4}}{3}+{g}^{2}-4gL{ω}^{2}}$

点评 本题主要考查了圆周运动，关键是找出角速度的关系，利用好圆周运动的公式即可判断