Question

13．若v_水＞v_船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是：如图所示，按水流速度和船的静水速度大小的比例，先从出发点A开始做矢量v_水，再以v_水末端为圆心，v_船为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线为船位移最小时的合运动的方向．这时船头与河岸夹角θ满足cosθ=$\frac{v船}{{v}_{水}}$，最短位移x_短=$\frac{d}{cosθ}$，渡河时间t=$\frac{d}{{v}_{船}sinθ}$．

Answer 1

分析 船既随水向下游运动，又相对于水向对岸行驶，根据船相对于水的速度与水流速度的比较，分析船能否到达正对岸．假设船头的指向与河岸的夹角为α，运用速度的分解求出船垂直于河岸方向的分速度，分析什么条件时渡河的时间最短，并进行求解．运用作图法，根据三角形定则分析什么条件下船的合速度与河岸夹角最大，则船登陆的地点离船出发点的最小距离，再由几何知识求解最小距离．

解答 解：设船在静水中的航速为v_船，水流的速度v_水．
由题，船在静水中的航速小于水流的速度，根据平行四边形定则可知，船的合速度方向不可能垂直于河岸，则船不能到达正对岸．
由题图可知，按水流速度和船的静水速度大小的比例，先从出发点A开始做矢量v_水，再以v_水末端为圆心，v_船为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线，该切线的方向与河岸之间的夹角此时最大，则该方向为船位移最小时的合运动的方向．由几何关系可知，船速与水流的速度之间的关系满足：cosθ=$\frac{v船}{{v}_{水}}$；
最短位移x_短=$\frac{d}{sin（90°-θ）}$=$\frac{d}{cosθ}$，
渡河时间t=$\frac{d}{{v}_{⊥}}$=$\frac{d}{{v}_{船}sinθ}$．
证明毕．

点评 本题是小船渡河问题，关键是运用运动的合成与分解作出速度分解或合成图，分析最短时间或最短位移渡河的条件．