题目内容
13.若v水>v船,这时无论船头指向什么方向,都无法使船垂直河岸渡河,即最短位移不可能等于河宽d,寻找最短位移的方法是:如图所示,按水流速度和船的静水速度大小的比例,先从出发点A开始做矢量v水,再以v水末端为圆心,v船为半径画圆弧,自出发点A向圆弧作切线为船位移最小时的合运动的方向.这时船头与河岸夹角θ满足cosθ=$\frac{v船}{{v}_{水}}$,最短位移x短=$\frac{d}{cosθ}$,渡河时间t=$\frac{d}{{v}_{船}sinθ}$.分析 船既随水向下游运动,又相对于水向对岸行驶,根据船相对于水的速度与水流速度的比较,分析船能否到达正对岸.假设船头的指向与河岸的夹角为α,运用速度的分解求出船垂直于河岸方向的分速度,分析什么条件时渡河的时间最短,并进行求解.运用作图法,根据三角形定则分析什么条件下船的合速度与河岸夹角最大,则船登陆的地点离船出发点的最小距离,再由几何知识求解最小距离.
解答 解:设船在静水中的航速为v船,水流的速度v水.
由题,船在静水中的航速小于水流的速度,根据平行四边形定则可知,船的合速度方向不可能垂直于河岸,则船不能到达正对岸.
由题图可知,按水流速度和船的静水速度大小的比例,先从出发点A开始做矢量v水,再以v水末端为圆心,v船为半径画圆弧,自出发点A向圆弧作切线,该切线的方向与河岸之间的夹角此时最大,则该方向为船位移最小时的合运动的方向.由几何关系可知,船速与水流的速度之间的关系满足:cosθ=$\frac{v船}{{v}_{水}}$;
最短位移x短=$\frac{d}{sin(90°-θ)}$=$\frac{d}{cosθ}$,
渡河时间t=$\frac{d}{{v}_{⊥}}$=$\frac{d}{{v}_{船}sinθ}$.
证明毕.
点评 本题是小船渡河问题,关键是运用运动的合成与分解作出速度分解或合成图,分析最短时间或最短位移渡河的条件.
练习册系列答案
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