Question

3．如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，已知万有引力常量G，下列说法正确的是（　　）

• A． 若测得周期和张角，可得到星球的质量
• B． 若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
• C． 若测得周期、轨道半径和张角，可得到星球表面的重力加速度
• D． 若测得周期、轨道半径和张角，可得到飞行器的向心力

Answer 1

分析 飞行器绕某星球做匀速圆周运动，由星球的万有引力提供向心力，根据万有引力定律和几何知识、密度公式可求解星球的平均密度；星球表面物体的重力等于万有引力，可以求出星球表面的重力加速度，据此分析需要测量的物理量

解答 解：AB、设星球的质量为M，半径为R，平均密度为ρ．张角为θ，飞行器的质量为m，轨道半径为r，周期为T．对于飞行器，根据万有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，由几何关系有：$R=rsin\frac{θ}{2}$，星球的平均密度 $M=ρ•\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，由以上三式得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，可知测出周期和轨道半径可以求出星球的质量；
星球密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}（sin\frac{θ}{2}）_{\;}^{3}}$，知测得周期和张角可得到星球的平均密度，故AB错误；
C、由AB分析知，由周期和轨道半径可以求出星球的质量，由轨道半径和张角可求出星球半径，根据星球表面物体的重力等于万有引力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，得$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$，所以知测得周期、轨道半径和张角，可得到星球表面的重力加速度．故C正确；
D、因为不知道飞行器的质量，所以无法得到飞行器的向心力．故D错误．
故选：C．

点评 本题关键掌握开普勒定律和万有引力等于向心力这一基本思路，结合几何知识进行解题．