Question

3．我国计划在2017年发射“嫦娥四号”，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料．已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，嫦娥四号离月球中心的距离为r，绕月周期为T．根据以上信息可求出（　　）

• A． 月球的平均密度为$\frac{{3π{R^3}}}{{G{T^2}{r^3}}}$
• B． “嫦娥四号”绕月运行的速度为$\sqrt{\frac{{r}^{2}g}{R}}$
• C． 月球的平均密度$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． “嫦娥四号”绕月运行的速度为$\frac{2πr}{T}$

Answer 1

分析 月球表面重力等于万有引力，绕月卫星的向心力由万有引力提供，据此列式分析即可

解答 解：AC、根据万有引力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得月球质量：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
月球体积$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
月球的平均密度$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$，故AC错误；
B、根据万有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
解得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
由黄金代换式：$GM=g{R}_{\;}^{2}$，代入上式得$v=\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{R+h}}$，故B错误；
D、“嫦娥四号”绕月运行的速度为$v=\frac{△s}{△t}=\frac{2πr}{T}$，故D正确；
故选：D

点评 决本题的关键掌握万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$和月球表面的物体受到的重力等于万有引力mg=$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$两个公式的综合应用，注意轨道半径与星体半径的关系．