Question

如图所示，A、B两物体的质量分别是m₁=5 kg，m₂=3 kg.它们在光滑水平面上沿同一直线向右运动，速度分别为v₁=5 m/s,v₂=1 m/s.当A追上B后，与B上固定的质量不计的弹簧发生相互作用.弹簧被压缩后再伸长，把A、B两物体弹开，已知A、B两物体作用前后均沿同一直线运动，弹簧压缩时未超过弹簧的弹性限度.

求：

（1）AB相互作用后的最终速度各是多少?

（2）碰撞中弹簧具有的最大弹性势能是多少?

Answer 1

解析：A、B相互作用过程中系统水平方向的动量守恒，系统无机械能损失，机械能守恒，由此可解得A、B的最终速度.当A、B两物体速度相同时弹簧的压缩量最大，弹簧具有最大的弹性势能.

（1）以AB为系统，在碰撞过程中所受合外力为零，总动量守恒，则有（取运动方向为正向）

m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁′+m₂v₂′                                                   ①

又AB相互作用时，只有弹力做功，机械能守恒，即作用前后的动能守恒，有

m₁v₁²+m₂v₂²=m₁v₁′²+m₂v₂′²⁺                                       ②

把以上两式移项变形为

m₁(v₁-v₁′)=m₂(v₂′-v₂)                                                      ③

m₁(v₁²-v₁′²)=m₂(v₂′²-v₂²)                                                   ④

③④两式相除得v₁+v₁′=v₂+v₂′

所以v₂′=v₁+v₁′-v₂                                                        ⑤

将⑤式代入①式得m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁′+m₂(v₁+v₁′-v₂)

所以碰后A的速度==2 m/s

v₁′方向水平向右.

将v₁′代入⑤式得v₂′=v₁+v₁′-v₂=（5+2-1） m/s=6 m/s

即碰后B的速度是v₂′=6 m/s

v₂′方向水平向右.

（2）A相对B静止时，弹簧压缩最短，弹性势能最大，这时A、B速度相同，根据动量守恒定律得m₁v₁+m₂v₂=(m₁+m₂)v

所以共同运动的速度=3.5 m/s

由机械能守恒定律有m₁v₁²+m₂v₂²=(m₁+m₂)v²+E_p

所以弹簧的最大弹性势能E_p=m₁v₁²+m₂v₂²- (m₁+m₂)v²

=×5×5² J+×3×1² J-×(5+3)×3.5² J=15 J.

答案：（1）2 m/s,向右，6 m/s,向右  （2）15 J