Question

12．如图所示，水平桌面左端有一顶端高为h的光滑圆弧形轨道，圆弧的底端与桌面在同一水平面上．桌面右侧有一竖直放置的光滑掘弧轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的，MN为其竖直直径．P点到桌面的竖直距离也为-质量m=0.4kg的物块A自圆弧形轨道的顶端释放，到达圆弧轨道底端恰与一停在圆弧底端水平桌面上质量也为m的物块B发生弹性正碰（碰撞过没有机械能的损失），碰后物块B的位移随时间变化的关系式为x=6t-2t²（关系式中所有物理量均为标准单位），物块B飞离桌面后恰由P点沿切线落入圆轨道．（重力加速度g取10m/s²）
（1）求BP间的水平距离X_总
（2）判断物块B能否沿圆轨道到达M点
（3）求物块A由静止释放的高度h．

Answer 1

分析 （1）对平抛运动，根据分运动公式列式求解初速度和水平位移；对匀减速过程，根据关系式x=6t-2t²得到初速度为6m/s，加速度为-4m/s²；根据速度位移公式列式求解；
（2）先加速能够沿圆轨道到达M点，根据机械能守恒定律求解末速度，根据牛顿第二定律求解弹力进行判断；
（3）质量相等的物体的弹性碰撞速度是互换的，根据机械能守恒定律列式求解物块A由静止释放的高度h．

解答 解：（1）设碰撞后物块B由D点以初速度v₀平抛，落到P点时的竖直速度为：
${v}_{y}=\sqrt{2gR}$
同时：tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{D}}$=1
解得：v_D=4m/s
对平抛运动，有：
R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v₀t
解得：
x=1.6m
物块B碰撞后以初速度v₀=6m/s减速到v_D，则BD间距：
x₁=$\frac{{v}_{D}^{2}-{v}_{B}^{2}}{2a}$=2.5m
故BP之间的水平距离为：
x_总=x+x₁=4.1m 
（2）若物块B能够沿着轨道到达M点，在M点时其速度为v_M，有：
$\frac{1}{2}m{v}_{M}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}mgR$ 
设轨道对物块的压力为F_N，则：
F_N+mg=m$\frac{{v}_{M}^{2}}{R}$
解得：
F_N=（1-$\sqrt{2}$）mg＜0，即物体不能到达M点；
（3）物块AB是弹性碰撞且速度相等，碰撞后速度交换，故根据机械能守恒定律，有：
$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$ 
解得：
$h=\frac{{v}_{B}^{2}}{2g}=\frac{{6}^{2}}{2×10}=1.8m$
答：（1）求BP间的水平距离为4.1m；
（2）物块B不能沿圆轨道到达M点；
（3）求物块A由静止释放的高度h为1.8m．

点评 该题是平抛运动、圆周运动的综合题，该题中要熟练掌握机械能守恒定律，能量守恒定律，以及圆周运动的临界问题．