Question

2．如图所示，虚线圆表示磁场和电场的圆柱形理想边界，其半径为R，圆内存在磁感应强度大小为B的平行于边界向里的匀强磁场，圆外存在垂直于边界向外的辐向静电场，现在边界面上的A点有一带电量大小为q、质量为m的粒子，不计重力，以垂直于边界指向圆心方向的初速度v射入磁场中．粒子离开A点后第5次经过边界时正好过A点，在该过程中，求：
（1）粒子离开A点时的初速度大小．
（2）粒子在磁场中运动的时间．

Answer 1

分析 （1）从A点射出的粒子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可求出轨迹半径R与速度的关系式．要使粒子能返回到A点，应该有两次进入电场的情况，正确画出运动的轨迹，找出相应的几何关系，联立解得，速度v应满足的条件
（2）在磁场中粒子做圆周运动的周期T=$\frac{2πm}{qB}$，与粒子速度无关，结合粒子运动的轨迹，得出粒子偏转的角度，由$\frac{t}{T}=\frac{θ}{2π}$．即可求出时间．

解答 解：（1）由题意，画出粒子运动的轨迹如图，由题意知，∠AOC=120°，粒子在磁场中运动的轨道半径为：
$r=\sqrt{3}R$
由：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
得：$v=\frac{qBr}{m}=\frac{\sqrt{3}qBR}{m}$
（2）在磁场中做圆周运动的周期为：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$
由图可知，粒子在磁场中运动的过程中，每一次的偏转角都是60°，则运动的时间是$\frac{1}{6}$T，在磁场中运动的时间为：
$t=3×\frac{1}{6}T=\frac{1}{2}T=\frac{πm}{qB}$
答：（1）粒子离开A点时的初速度大小是$\frac{\sqrt{3}qBR}{m}$．（2）粒子在磁场中运动的时间$\frac{πm}{qB}$．

点评 该题考查带电粒子在组合场中的运动，其中粒子在磁场中的运动与电场中的运动的组合具有一定的周期性，其中由粒子离开A点后第5次经过边界时正好过A点，判断出粒子由两次进入电场是解题的关键．