Question

8．两个行星各有一个卫星绕其表面运行，已知两个卫星的周期之比为1：2，两行星半径之比为2：1，则下列选项正确的是（　　）

• A． 两行星密度之比为4：1
• B． 两行星质量之比为32：1
• C． 两行星表面处重力加速度之比为16：1
• D． 两卫星的速率之比为$\sqrt{8}$：1

Answer 1

分析 研究任一卫星绕行星做匀速圆周运动的情形，根据万有引力提供向心力，列出等式求出行星的质量、卫星的速率，再得到行星的密度．忽略行星自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式．再求各个量之比．

解答 解：A、任一卫星绕行星表面做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力，得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
则得行星的质量 M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
行星的密度 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
两个卫星的周期之比为1：2，由上式可得，两行星密度之比为4：1，故A正确．
B、行星质量为 M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，已知两个卫星的周期之比为1：2，两行星半径之比为2：1，由此可得，两行星质量之比为32：1，故B正确．
C、忽略行星自转的影响，根据万有引力等于重力，得 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，得 g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
结合两行星半径之比为2：1，质量之比为32：1，解得两行星表面处重力加速度之比为8：1，故C错误．
D、根据圆周运动公式 v=$\frac{2πR}{T}$，可得两卫星的速率之比为4：1，故D错误．
故选：AB

点评 对于卫星问题，关键是建立模型，掌握两条基本思路：万有引力等于向心力和万有引力等于重力，运用列式分析比例关系．