Question

8．一商场滚梯如图示，AB部分水平，BC部分倾斜，且L_AB=3m，L_BC=5m，倾角θ=37°，AB与BC在B点通过极短圆弧连接，滚梯正以速度v=2m/s的恒定速度释放，货箱与滚梯间的动摩擦因素μ=0.5，g=10m/s²．不考虑货箱在B处损失的能量（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）货箱从A点第一次运到B点所用的时间；
（2）货箱第一次到B点后运动具有周期性，求出它的运动周期；
（3）从把货箱放在A点到货箱第一次到最高点过程中由于传送货箱电机多消耗的电能．

Answer 1

分析 （1）货箱刚放在水平传送带上时，对货箱进行受力分析，运用牛顿第二定律求得加速度，由速度公式求出速度达到传送带的速度所用时间．再分析共同后运动时间，从而得到总时间．
（2）货箱在BC做先向上匀减速运动，后向下匀加速运动，到达B点后做匀减速运动，由牛顿第二定律和运动学公式求解周期．
（3）根据相对位移求出摩擦生热，结合能量守恒定律求由于传送货箱电机多消耗的电能．

解答 解：（1）木箱开始匀加速运动，当速度达到2m/s以后匀速运动到B，由牛顿第二定律得：μmg=ma₁；
代入数据得：a₁=5m/s²．
经过时间t₁木箱速度达到2m/s，则有：
v=a₁t₁
代入数据解得：t₁=0.4s
经过t₁这段时间木箱对地位移为：s₁=$\frac{v}{2}{t}_{1}$
解得：s₁=0.4m，小于3m
之后木箱匀速运动，设木箱匀速运动t₂到达B点，有：
L_AB-s₁=vt₂；
代入数据解得：t₂=1.3s         
则木箱从A到B经历时间为：t=t₁+t₂=1.7s
（2）木箱以2m/s为初速度沿皮带向上做匀减速运动，由牛顿第二定律得：
 mgsin37°-μmgcos37°=ma₂；
代入数据解得：a₂=2m/s²
 经过时间t₃木箱速度减为零，则有：v=a₂t₃．
代入数据解得：t₃=1s   
货箱沿皮带向上滑动位移为：s₂=$\frac{v}{2}{t}_{3}$=$\frac{2}{2}$×1=1m
速度减为零以后，货箱沿皮带向下做匀加速运动，受力情况与向上运动时相同，因此经过t₄=t₃=1s到达B点．  
箱从B点开始又做匀减速运动，加速度大小为：a₃=a₁=5m/s²．
经过t₅速度减为零，有：v=a₃t₅．
解得：t₅=0.4s         
然后又开始匀加速滑向B，经过t₆=t₅=0.4s时间运动到B且速度为2m/s，这样周期运动下去．周期为：T=t₃+t₄+t₅+t₆=2.8s
（3）从把货箱放在A点到货箱第一次到最高点过程由于传送货箱电机多消耗的电能，等于货箱增加的机械能和摩擦生热之和．
机械能增加：△E=mgs₂sin37°
解得：△E=6J
摩擦生热
水平段：Q₁=μmgs₁；
倾斜段：Q₂=μmgcos37°（vt₃-s₂）
解得 Q₁=2J，Q₂=4J
电机多消耗的电能为：E=△E+Q₁+Q₂=6+2+4=12J
答：（1）货箱从A点第一次运到B点所用的时间是1.7s；
（2）货箱第一次到B点后运动具有周期性，它的运动周期是2.8s；
（3）从把货箱放在A点到货箱第一次到最高点过程中由于传送货箱电机多消耗的电能是12J．

点评 本题关键分析清楚工件的运动情况，根据牛顿第二定律求解出加速过程的加速度，再根据运动学公式和功能列式研究．