Question

17．如图，一个质量m=0.6kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧（不计空气阻力，进入圆弧时无能量损失）．已知圆弧的半径R=0.3m，θ=60°，小球到达A点时的速度v_A=4m/s．（取g=10m/s²）．求：
（1）小球做平抛运动的初速度v₀；
（2）P点与A点的水平距离和竖直高度；
（3）若小球到达B点的速度是$\sqrt{19}$m/s，则小球经过B点和C点时对轨道的压力差是多少．（空气阻力忽略不计，g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧，说明到到A点的速度v_A方向与水平方向的夹角为θ，这样可以求出初速度v₀；
（2）平抛运动水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，根据平抛运动的基本规律求出P点与A点的水平距离和竖直距离；
（3）从B到C根据动能定理求出C点速度，在C点和B点，重力和弹力的合力提供向心力，根据向心力公式和牛顿第二定律列式求出小球在最高点C和B点时对轨道的压力，从而求出压力差．

解答 解：（1）小球恰好从圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧，根据几何关系可知，
v₀=v_x=v_Acosθ=4×cos60°=2m/s 
（2）根据平抛运动的分运动公式，有：${v}_{y}={v}_{A}sinθ=4×sin60°=2\sqrt{3}m/s$，
由平抛运动规律得：${{v}_{y}}^{2}=2gh$
v_y=gt
x=v₀t
代入数据解得h=0.6m，x=$0.4\sqrt{3}m≈0.69m$．
（3）在B点，由圆周运动向心力公式得：
${N}_{B}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
代入数据得：
N_B=44N
由牛顿第三定律得：小球对轨道的压力大小N_B′=N_B=44N，
从B到C根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=-mg•2R$
解得：${v}_{C}=\sqrt{7}m/s$
在C点，由圆周运动向心力公式得：
${N}_{C}+mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
解得：N_C=8N，
由牛顿第三定律得：小球对轨道的压力大小：N_C′=N_C=8N，
则小球经过B点和C点时对轨道的压力差是△N=N_B′-N_C′=44-8=36N．
答：（1）小球做平抛运动的初速度v₀为2m/s；
（2）P点与A点的水平距离为0.69m，竖直高度为0.6m；
（3）小球经过B点和C点时对轨道的压力差是36N．

点评 本题是平抛运动和圆周运动相结合的典型题目，除了运用平抛运动和圆周运动的基本公式外；本题第三问中C点速度可以利用动能定理求解出来．