Question

6．如图所示，ab、cd为间距l=1m的倾斜金属导轨，导轨平面与水平面的夹角θ=37°，导轨电阻不计，ac间接有R=2.4Ω的电阻．空间存在磁感应强度B₀=2T的匀强磁场，方向垂直于导轨平面向上．导轨的上端有长为x₁=0.5m的绝缘涂层，绝缘涂层与金属棒的动摩擦因数μ=0.25，导轨的其余部分光滑，将一质量m=0.5kg，电阻r=1.6Ω的金属棒从顶端ac处由静止释放，金属棒从绝缘层上滑出后，又滑行了x₂=1m，之后开始做匀速运动．已知：重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）金属棒刚从绝缘涂层上滑出时的加速度的大小．
（2）从释放金属棒到匀速运动，金属棒上产生的焦耳热．
（3）从金属棒刚滑出绝缘涂层开始计时，为使金属棒中不产生感应电流，可让磁感应强度从B₀开始按一定规律逐渐变化，试写出磁感应强度B随时间t变化的表达式．

Answer 1

分析 （1）金属棒开始时向下做加速运动，重力与摩擦力做功，由动能定理即可求出金属棒刚从绝缘涂层上滑出时的速度；由E=BLv求出电动势，然后由闭合电路的欧姆定律求出电流，由安培力的公式以及牛顿第二定律即可求出加速度；
（2）当金属棒受到的安培力与重力沿斜面的分力相等时，导体棒受到的合力为零，导体棒做匀速直线运动，速度最大，达到稳定状态，由安培力公式及平衡条件即可求出棒下滑的最大速度．然后由能量守恒定律求解金属棒上产生的焦耳热．
（3）为使金属棒中不产生感应电流，回路中磁通量应不变，据此列式求解．

解答 解：（1）金属棒开始时向下做加速运动，重力与摩擦力做功，由动能定理得：
$mg{x}_{1}sinθ-μmgcosθ•{x}_{1}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-0$
代入数据得：v₁=2m/s
由法拉第电磁感应定律，得：E₁=B₀lv₁
由闭合电路欧姆定律，得：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R+r}$
根据牛顿第二定律得：mgsinθ-B₀lI₁=ma
代入数据得：a=2m/s²
（2）当棒运动的加速度为零时速度最大，设最大速度为v₂，则：$mgsinθ=\frac{{{B}_{0}}^{2}{l}^{2}{v}_{2}}{R+r}$
可解得：v₂=3m/s
由动能定理得：$mg{x}_{2}-W=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
代入数据可解得：W=1.75J
克服安培力做的功转化为焦耳热，则：Q=W
故电阻R上产生的焦耳热为：Q_R=$\frac{r•Q}{R+r}$
代入数据得：Q_R=0.7J
（3）当回路中的总磁通量不变时，棒中不产生感应电流，沿导轨做匀加速运动．则有：B₀lx₀=Bl（${x}_{1}+{v}_{2}t+\frac{1}{2}{a}_{3}{t}^{2}$）
由牛顿第二定律得：mgsinθ=ma₃
联立解得：B=$\frac{2}{1+6t+6{t}^{2}}$T
答：（1）金属棒刚从绝缘涂层上滑出时的加速度的大小为2m/s²．
（2）从释放金属棒到匀速运动，金属棒上产生的焦耳热为0.7J．
（3）磁感应强度B随时间t变化的表达式为B=$\frac{2}{1+6t+6{t}^{2}}$T．

点评 对金属棒正确受力分析、分析清楚金属棒的运动过程、应用安培力公式、平衡条件等，即可正确解题．要明确产生感应电流的条件：闭合电路的磁通量变化．