Question

11．如图所示为直角三角形棱镜的截面ABD，∠A=30°，BD边的长度为1m，两束相同的单色光a、b垂直AB边分别射到AD、BD边的中点E、F，如果此三棱镜的折射率为$\sqrt{3}$
①通过计算说明两条光线射到AD和BD边上是否发生全反射
②试确定两条光线经过一次折射后在三棱镜外的交点位置．

Answer 1

分析 ①由折射率求出临界角，将a光射到AD面的入射角、b光射到BD面的入射角与临界角大小进行比较，分析能否发生全反射．
②结合上题的分析，作出光路图，由几何知识求解两条光线经过一次折射后在三棱镜外的交点位置．

解答 解：①根据题意可知，三棱镜的折射率为$\sqrt{3}$，则发生全反射的临界角为 sin C=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，C=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$ ①
由题意可知，a光射到AD面的入射角为30°，因为sin 30°=$\frac{1}{2}$＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以入射角小于全反射临界角，不会发生全反射  ②
b光射到BD面的入射角为60°，因为sin 60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以入射角大于全反射临界角，发生全反射．③
②如图所示．

a光线从AD面折射，由折射定律可知，折射角等于60°，因此折射光线与AD面的夹角等于30°，b光线射到BD面上发生全反射，反射角等于60°，反射光射到AD面的入射角等于30°，因此折射光线与AD成30°的夹角，由几何关系可知，AD的长度为$\sqrt{3}$ m，则ED的长度为$\frac{\sqrt{3}}{2}$ m，FD的长度为0.5 m
所以GD的长度为0.5•tan 30° m=$\frac{\sqrt{3}}{6}$ m，故EG的长度为$\frac{\sqrt{3}}{2}$ m-$\frac{\sqrt{3}}{6}$ m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ m，M为EG的中点
所以EM的长度为$\frac{\sqrt{3}}{6}$ m，HM的长度为$\frac{\sqrt{3}}{6}$•tan 30° m=$\frac{1}{6}$ m，即
两条光线第一次相交在AD边距离D点$\frac{\sqrt{3}}{3}$ m处的M点外垂直距离为$\frac{1}{6}$ m的H位置．
答：
①光线射到AD边上不发生全反射，射到BD边上会发生全反射．
②两条光线第一次相交在AD边距离D点$\frac{\sqrt{3}}{3}$ m处的M点外垂直距离为$\frac{1}{6}$ m的H位置．

点评 解决本题关键是掌握全反射的条件和临界角公式临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，要正确作出光路图，再运用几何知识帮助解答．