Question

8．如图甲所示，斜面的倾角α=30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长L₁=1m，bc边的边长L₂=0.6m，线框的质量m=1kg，线框的电阻R=0.1Ω，线框受到沿斜面向上的恒力F的作用，已知F=15N，线框与斜面间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．线框的边ab∥ef∥gh，斜面的ef hg区域有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化情况如图乙的B-t图象所示，时间t是从线框由静止开始运动起计时的．如果线框从静止开始运动，进入磁场最初一段时间是匀速的，ef线和gh线的距离x=5.1m，取g=10m/s²．求：
（1）线框进入磁场前的加速度a；
（2）线框进入磁场时匀速运动的速度v；
（3）在丙图中画出线框从静止开始运动直至ab边运动到gh线过程的v-t图象；
（4）线框从静止开始运动直至ab边运动到gh线的过程中产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律列方程求解线框进入磁场前的加速度；
（2）以线框为研究对象，根据线框受力平衡求解速度v；
（3）分析线框的运动情况，分别求出每段的时间和对应的速度大小，由此作图；
（4）计算出线框整体进入磁场后线框中有感应电流的时间，根据焦耳定律计算产生的焦耳热．

解答 解：（1）线框进入磁场前，线框受到线框的重力、拉力F、斜面的支持力和线框的摩擦力作用，由牛顿第二定律：
F-mgsinα-μmgcosα=ma   
解得线框进入磁场前的加速度为：a=5 m/s²；
（2）因为线框进入磁场的最初一段时间做匀速运动，ab边进入磁场切割磁感线，产生的电动势为：
E₁=BL₁v 
形成的感应电流为：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
受到沿斜面向下的恒定的安培力为：F_安=BI₁L₁           
线框受力平衡，有：F=mgsin α+μmgcosα+F_安        
此时磁感应强度必恒定不变，为：B=0.5 T，
代入数据解得：v=2 m/s；
（3）线框abcd进入磁场前做匀加速直线运动，进入磁场前的运动时间为：
t₁=$\frac{v}{a}$=0.4 s           
进入磁场过程中线框做匀速运动的时间为：t₂=$\frac{{L}_{2}}{v}$=0.3 s        
线框完全进入磁场后至运动到gh线，线框受力情况与进入磁场前相同，仍做匀加速直线运动，所以该阶段的加速度大小仍为：a=5 m/s²，
该过程有：x-l₂=vt₃+$\frac{1}{2}$a${t}_{3}^{2}$，
代入数据解得：t₃=1 s  
线框从静止开始运动直至ab边运动到gh线过程的v-t图象如图

（4）线框整体进入磁场后，ab边运动到gh线的过程中，线框中有感应电流的时间为：
t₄=t₁+t₂+t₃-0.9 s=0.8 s         
感应电动势为：E₂=$\frac{△B•S}{△t}$=$\frac{0.5×0.6}{2.1-0.9}$ V=0.25 V         
此过程产生的焦耳热为：Q₂=$\frac{{E}_{2}^{2}}{R}{t}_{4}$=$\frac{0.252×0.8}{0.1}$J=0.5 J         
线框匀速进入磁场过程中产生的焦耳热为：Q₁=I₁²Rt₂=3 J         
线框从静止开始运动直至ab边运动到gh线的过程中产生的焦耳热为：
Q=Q₁+Q₂=3.5 J．
答：（1）线框进入磁场前的加速度为5m/s²；
（2）线框进入磁场时匀速运动的速度为2m/s；
（3）线框从静止开始运动直至ab边运动到gh线过程的v-t图象见解析；
（4）线框从静止开始运动直至ab边运动到gh线的过程中产生的焦耳热为3.5J．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．