题目内容

12．如图所示，一质量 m=2kg的滑块从高h=1.5m处无初速度下落，沿切线方向进入固定的$\frac{1}{4}$粗糙圆弧AB，圆弧半径R=1.5m，再经长l=4m的粗糙平面BC滑上静止于光滑水平地面上质量M=4kg的足够长的长木板，长木板M的上表面与BC面齐平，与C点的间隙可忽略，滑块滑至C点时的速度vc=6m/s．当滑块m滑至长木板M上表面的同时施加给M-个大小F=6N的水平向右的作用力，经t0=1s撤去F．已知滑块m与粗糙圆弧AB，粗糙平面BC及M的上表面的动摩擦因数均为μ=0.2，（g取10m/s2）求：
（1）滑块m在粗糙圆弧AB上运动时克服摩擦力所做的功．
（2）滑块m与长木板M的最终速度的大小及滑块m在长木板M上表面上滑动时所产生的热量．

分析 （1）由动能定理求出到达C点的过程中滑块克服摩擦力做的功．
（2）分别对滑块和长木板进行受力分析，由牛顿第二定律它们的加速度的大小，然后又速度公式求出各自的速度，比较；由于滑块的速度仍然大于长木板的速度，此后，根据动量守恒定律求出共同的速度，由功能关系求出产生的热量．

解答 解：（1）物块到达C点的速度为vC，由动能定理得：
$mg（h+R）-{μmg•l-W}_{fAB}=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-0$
代入数据解得：WfAB=8J，
即滑块m在粗糙圆弧AB上运动时克服摩擦力所做的功的8J．
（2）m与M之间的摩擦力：f=μmg=0.2×2×10=4N
m在长木板上做加速运动，加速度：${a}_{1}=\frac{f}{m}=\frac{4}{2}=2m/{s}^{2}$
1s后滑块的速度：v1=vC-a1t0=6-2×1=4m/s
对长木板进行受力分析可知，长木板在水平方向受到向右的拉力和m对M的向右的摩擦力，长木板的加速度：${a}_{2}=\frac{f+F}{M}=\frac{4+6}{4}=2.5m/{s}^{2}$
1s后长木板的速度：v木=a2t0=2.5×1=2.5m/s
可知，1s后长木板的速度仍然小于滑块的速度，设物块和小车的最终速度为v，选取向右为正方向，由系统动量守恒得：mv1+Mv木=（m+M）v
代入数据得：v=3m/s
长木板在1s内的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{0}^{2}=\frac{1}{2}×2.5×{1}^{2}=1.25$m
滑块在1s内的位移：${x}_{2}={v}_{C}{t}_{0}-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{0}^{2}=6×1-\frac{1}{2}×2×{1}^{2}=5$m
该段时间内滑块相对于长木板的位移：△x=x2-x1=5-1.25=3.75m
产生的热量：Q1=f•△x=4×3.75=15J
撤去拉力后产生的热量为：${Q}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{木}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）{v}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×{4}^{2}+\frac{1}{2}×4×2．{5}^{2}-\frac{1}{2}×（2+4）×{3}^{2}=1.5$J
所以滑块m在长木板M上表面上滑动时所产生的热量：Q=Q1+Q2=15+1.5=16.5J
答：（1）滑块m在粗糙圆弧AB上运动时克服摩擦力所做的功是8J．
（2）滑块m与长木板M的最终速度的大小是3m/s；滑块m在长木板M上表面上滑动时所产生的热量是16.5J．

点评 本题首先要分析物理过程，确定研究对象，其次要把握解题的规律，采用机械能守恒、动量守恒结合研究，难度适中．

练习册系列答案
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