Question

6．如图所示，匀强磁场垂点于纸面向外，磁场的边界ab、cd平行．现有一带电量为+q的粒子沿纸面从ab边界的某点P射入磁场，粒子速度大小为v₀，方向与ab边界成θ=30°角．粒子从cd边界射出时，速度方向与cd边界垂直，已知磁感应强度大小为B，区域足够大，粒子质量为m，不计粒子所受重力．求：
（1）粒子从P点刚进入磁场时所受洛伦兹力的大小，并在图中画出方向；
（2）磁场的边界ab、cd的距离及粒子穿越磁场的时间．

Answer 1

分析 （1）根据洛伦兹力公式f=qvB求洛伦兹力大小，由左手定则判断洛伦兹力方向；
（2）根据洛伦兹力提供向心力求出半径和周期表达式，由几何关系找出半径与边界距离关系，联立方程可求出边界距离；由公式$t=\frac{θ}{2π}T$或$t=\frac{θ°}{360°}T$秋李子在磁场中运动的时间．

解答 解：（1）粒子从P点刚进入磁场时洛伦兹力大小为：${f}_{洛}^{\;}=q{v}_{0}^{\;}B$
洛伦兹力方向如图所示
（2）画出粒子在磁场中的运动轨迹，如图所示，根据几何关系，圆弧所对的圆心角为60°，设ab、cd间的距离为d，则有：
$sin60°=\frac{d}{R}$…①
根据洛伦兹力提供向心力，有：
$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得$R=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$…②
联立①②得：$d=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{\;}}{2qB}$
粒子运动的周期为：$T=\frac{2πR}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{2πm}{qB}$
粒子在磁场中运动的时间为：$t=\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}×\frac{2πm}{qB}=\frac{πm}{3qB}$
答：（1）粒子从P点刚进入磁场时所受洛伦兹力的大小$q{v}_{0}^{\;}B$，方向如上图；
（2）磁场的边界ab、cd的距离$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{\;}}{2qB}$及粒子穿越磁场的时间$\frac{πm}{3qB}$．

点评 本题解题的关键在于画出粒子运动轨迹，分析粒子圆周运动周期与磁场变化周期的关系．粒子圆周运动的时间往往根据轨迹的圆心角与周期的关系确定，t=$\frac{θ}{2π}$T，θ为转过的圆心角