Question

11．如图所示，在水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ，电阻忽略不计，导轨间距离为L，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨所在平面，质量均为m的两根金属杆a、b放在导轨上，a、b杆接入电路的电阻均为r，轻质弹簧的左端与b杆连接，右端固定，开始时a杆以初速度v₀向左运动，b杆静止，弹簧处于原长状态，当a杆向左的速度为v时，b杆向左的速度达到最大值v_m，此过程中a杆上产生的焦耳热为Q，两根始终垂直于导轨并与导轨接触良好，求：
（1）b杆速度最大时，弹簧的弹力大小；
（2）b杆速度最大时，弹簧的弹性势能E_p．

Answer 1

分析 （1）由两棒速度求得电动势，进而求得速度，安培力，再通过受力平衡求得弹簧弹力；
（2）将弹簧、a杆、b杆当成一个整体，然后利用能量守恒即可求得弹性势能．

解答 解：a杆向左运动，安培力向右，杆做减速运动，电流减小；
b杆受安培力和弹簧弹力作用，安培力向左且不断减小；弹簧弹力开始为零，杆向左做加速运动，弹簧弹力增大，直到弹簧弹力等于安培力时速度达到最大值，之后杆做减速运动；
（1）b杆速度最大时，a杆向左的速度为v，b杆向左的速度为v_m，所以，闭合电路电动势E=BL（v-v_m），电路中电流$I=\frac{E}{2r}=\frac{BL（v-{v}_{m}）}{2r}$，
所以，b杆受到的安培力${F}_{安}=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}（v-{v}_{m}）}{2r}$，
由受力平衡可得弹簧弹力$F={F}_{安}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}（v-{v}_{m}）}{2r}$；
（2）由于a杆，b杆串联，通过两杆的电流相等，又有电阻相等，所以，两杆的电功率相同，所以，a杆上产生的焦耳热为Q，b杆上产生的焦耳热也为Q；
将弹簧、a杆、b杆当成一个整体，对开始到b杆速度达到最大值的过程应用能量守恒，则有：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}+2Q+{E}_{P}$，
所以，${E}_{P}=\frac{1}{2}m（{{v}_{0}}^{2}-{v}^{2}-{{v}_{m}}^{2}）-2Q$；
答：（1）b杆速度最大时，弹簧的弹力大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（v-{v}_{m}）}{2r}$；
（2）b杆速度最大时，弹簧的弹性势能E_p为$\frac{1}{2}m（{{v}_{0}}^{2}-{v}^{2}-{{v}_{m}}^{2}）-2Q$．

点评 在闭合电路切割磁感线的问题中，一般由速度或磁通量的变化求得电动势，然后由欧姆定律求得电流，进而得到安培力；亦或通过动能定理、能量守恒求得发热量．