Question

20．如图所示，一光滑圆锥体固定在水平面上，OC⊥AB，θ=30°，一条不计质量、长为L且平行于圆锥体的绳一端固定在顶点O，另一端拴一质量为m的物体（看作质点）．物体以速度v绕圆锥体的轴线OC在水平面内作匀速圆周运动． 
（1）当v=$\sqrt{\frac{1}{6}gL}$时，求出绳对物体的拉力
（2）当v=$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$时，求出绳对物体的拉力．

Answer 1

分析 求出物体刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界速度．当速度大于临界速度，则物体离开锥面，当速度小于临界速度，物体还受到支持力，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的拉力．

解答 解：当物体离开锥面时：Tcosθ-mg=0，Tsinθ=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，R=Lsinθ
解得：v=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gL}{6}}$，
（1）v₁＜v时，有：${T}_{1}sinθ-{N}_{1}cosθ=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
解得：${T}_{1}=\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$，
（2）v₂＞v时，球离开锥面，设线与竖直方向上的夹角为α，
则T₂cosα-mg=0
${T}_{2}sinθ=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$，
R₂=Lsinα
解得：T₂=2mg．
答：（1）当v=$\sqrt{\frac{1}{6}gL}$时，绳对物体的拉力为$\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$；
（2）当v=$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$时，绳对物体的拉力为2mg．

点评 解决本题的关键找出物体的临界情况，正确分析物体的受力情况，再运用牛顿第二定律求解，注意离开圆锥体时，运动的半径改变了，难度适中．