Question

11．如图所示，在水平面内存在着竖直向下的有界匀强磁场，其宽度为d=1m，磁感应强度B=$\frac{\sqrt{11}}{4}$T．在光滑的水平面上水平放置的“日”字型闭合导体线框PQFE，宽L=1m，质量m=0.25kg，QN、NF的长度都大于d，PQ边的电阻R₁=1Ω、MN边的电阻R₂=2Ω、EF边的电阻R₃=3Ω，其余电阻不计．t=0时刻线框在距磁场左边界x=3.2m处由静止开始在水平恒力F作用下沿直线运动，已知当线框PQ边、MN边和EF边刚进磁场时均恰能匀速运动，不计线框运动中的一切摩擦阻力．求
（1）线框所受的F为多大；
（2）线框PQ边与MN边之间的距离H．

Answer 1

分析 （1）由PQ边进入磁场时受力平衡，得到力和速度的一个关系式；再对线框从静止到要进入磁场的时刻应用动能定理，得到力与速度的另一个关系式，即可联立求解；
（2）由（1）求得PQ边离开磁场时的速度，再对MN边进行受力分析，得到MN边进入磁场时的速度，对中间过程应用动能定理即可得到这个过程线框运动的位移，进而得到线框PQ边与MN边之间的距离．

解答 解：（1）设PQ边匀速进磁场时的速度为v₁，则有：
$Fx=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-0$
解得：$F=\frac{1}{25.6}{{v}_{1}}^{2}$；
当线框PQ边刚进磁场时恰能匀速运动，则安培力等于F，即为：
$F=BIL=B\frac{BL{v}_{1}}{{R}_{1}+\frac{{R}_{2}{R}_{3}}{{R}_{2}+{R}_{3}}}L$=$\frac{5}{16}{v}_{1}$；
解得：${v}_{1}=\frac{\frac{5}{16}}{\frac{1}{25.6}}=8m/s$，$F=\frac{5}{16}{v}_{1}=\frac{5}{2}N$；
（2）设MN边匀速进磁场时的速度为v₂，则有：
$F=B{I}_{2}L=BL\frac{BL{v}_{2}}{{R}_{2}+\frac{{R}_{1}{R}_{3}}{{R}_{1}+{R}_{3}}}=\frac{1}{4}{v}_{2}$，
解得：v₂=4F=10m/s；
线框PQ边完全离开磁场时的速度为8m/s，MN边要进入磁场时线框的速度为10m/s，在这个过程中，只有力F对线框做功，所以，应用动能定理，可得：$F（H-d）=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$；
即为：$\frac{5}{2}（H-1）=\frac{1}{2}×0.25×（1{0}^{2}-{8}^{2}）=\frac{9}{2}$
解得：$H=\frac{14}{5}m$；
答：（1）线框所受的力F为$\frac{5}{2}N$；
（2）线框PQ边与MN边之间的距离H为$\frac{14}{5}m$；

点评 在切割磁感线运动时，产生电动势的导体棒相当于电源，其他电路构成外电路，再通过欧姆定律求得干路电流，即可求得导体棒受到的安培力．