Question

12．如图（甲）所示，倾角α=30°、宽度L=0.5m、电阻不计的光滑金属轨道足够长，在轨道的上端连接阻值R=1.0Ω的定值电阻，金属杆MN的电阻r=0.5Ω，质量m=0.16kg，整个装置处于垂直轨道平面向下的匀强磁场中．将金属杆由静止开始释放，在计算机屏幕上同步显示出电流i和时间t的关系如图（乙）所示，已知t=3.2s之后电流渐近于某个恒定的数值，杆与轨道始终保持垂直，0～3.2s内金属杆下滑的距离s=11m．求：
（1）t=2.0s时电阻R中的功率；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）估算1.0s～2.0s内通过电阻R的电量；
（4）为了求出0～3.2s内回路中产生总的焦耳热，某同学解法如下：
读图得到t=3.2s时电流I=1.6A，此过程的平均电流$\overline{I}$=$\frac{1}{2}$I=0.8A，再由$\overrightarrow{I}$²Rt求出电阻R中的电热，进而求出回路产生的焦耳热．
该同学解法是否正确？如正确，请求出最后结果；如不正确，请指出错误之处，并用正确的方法求出结果．

Answer 1

分析 （1）由i-t图象可知当t=2.0s时的电流强度，再根据电功率的计算公式求解功率；
（2）根据共点力的平衡条件求解磁感应强度的大小；
（3）图线与t轴包围的“面积”表示电量，由此求解；
（4）因电流非线性变化，求解焦耳热不能用平均值，求出3.2s时杆的速度，根据能量守恒定律求出总的焦耳热．

解答 解：（1）由i-t图象可知当t=2.0s时I=1.4A，功率为：P=I²R=1.96W；
（2）由图知，金属杆稳定运动时的电流为1.60A，杆受三个力平衡，画出受力图如图所示，

平衡方程：mgsinα=BIL，
解得：$B=\frac{mgsinα}{IL}=1T$
（3）1.0s～2.0s内通过电阻R的电量对应图线与t轴包围的“面积”，
由图知：总格数约为61格，
q=61×0.2×0.1C=1.22C；
（4）不正确．因电流非线性变化，$\overline{I}$≠$\frac{1}{2}$I；由$\overline{I}$求解焦耳热也不正确．
正确方法：
由图知：3.2s后，电流I=1.60A，电动势E=BLv=I（R+r），
可以求出3.2s时杆的速度${{v}_m}=\frac{I（R+r）}{BL}$=$\frac{1.6×（1+0.5）}{1×0.5}$m/s=4.8m/s，
能量守恒：$mgssinα=\frac{1}{2}m{v}_m^2+Q$，
求出总的焦耳热$Q=mgssinα-\frac{1}{2}m{v}_m^2$=（$0.16×10×11×\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×0.16×{4.8^2}$）J=6.96J．
答：（1）t=2.0s时电阻R中的功率为1.96W；
（2）磁感应强度B的大小为1T；
（3）1.0s～2.0s内通过电阻R的电量约为1.22C；
（4）不正确，因电流非线性变化，不能用平均电流计算焦耳热；用正确的方法求出结果为6.96J．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．