Question

5．已知引力常数为G，地球的质量为M，地球的半径为R，某飞船绕地球匀速圆周运动时距地面高度为h，根据以上条件求（用题中字母表示结果）：
（1）该飞船绕地球做匀速圆周运动时的向心加速度大小；
（2）该飞船绕地球做匀速圆周运动时的线速度大小；
（3）该飞船绕地球做匀速圆周运动时的角速度大小；
（4）该飞船绕地球做匀速圆周运动时的周期大小．

Answer 1

分析 飞船绕地球匀速圆周运动，万有引力提供向心力，向心力F_n=ma=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$=mω²（R+h）=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h），根据牛顿第二定律列式求解即可．

解答 解：（1）飞船绕地球匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=ma
解得：a=$\frac{GM}{{（R+h）}^{2}}$
（2）飞船绕地球匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
（3）飞船绕地球匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=mω²（R+h）
解得：ω=$\sqrt{\frac{GM}{（R+h）^{3}}}$
（4）飞船绕地球匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）
解得：T=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$
答：（1）该飞船绕地球做匀速圆周运动时的向心加速度大小为$\frac{GM}{{（R+h）}^{2}}$；
（2）该飞船绕地球做匀速圆周运动时的线速度大小为$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$；
（3）该飞船绕地球做匀速圆周运动时的角速度大小为$\sqrt{\frac{GM}{{（R+h）}^{3}}}$；
（4）该飞船绕地球做匀速圆周运动时的周期大小为2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$．

点评 本题关键是明确卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，地球的球心为轨迹圆的圆心，基础题目．