Question

8．如图甲所示，质量m=0.5kg、电阻r=1Ω的跨接杆ab可以无摩擦地沿水平固定导轨滑行，导轨足够长，两导轨间宽度L=1m，导轨电阻不计，电阻R₁=R₂=2Ω，装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B=1T．杆从x轴原点O以水平初速度向右滑行，直到停止．已知杆在整个运动过程中v随位移x变化的关系如图乙所示．求：
（1）杆的整个运动过程中，电阻R₁上产生的热量；
（2）当电阻R₁产生的热量达到2J时，杆此时的加速度大小；
（3）杆在整个运动过程中，通过电阻R₁的电量．

Answer 1

分析 （1）根据功能关系求出产生的总热量，再根据电路中的电流分配关系求出各个电阻产生的热量关系即可求解电阻R₁上产生的热量；
（2）由能量守恒求解当电阻R₁产生的热量达到2J时杆的速度，再根据牛顿第二定律和法拉第电磁感应定律求解加速度大小；
（3）根据电荷量的计算公式q=It及电荷量的经验公式求解．

解答 解：（1）设整个电路中产生的热量为Q，则根据功能关系得$Q=\frac{mv_0^2}{2}=16J$，
设杆中瞬时电流为I，则电阻R₁中产生的热量为Q₁=$\frac{1}{4}$I²R₁t，R₂中产生的热量为Q₂=Q₁，
r中产生的热量为Q_r=I²rt=2Q₁，
由于Q=Q_r+Q₁+Q₂=4Q₁，
所以得：Q₁=$\frac{1}{4}$Q=4J；
（2）当R₁产生2J的热量时，电路中产生的总热量为Q′=2J+2J+4J=8J，
设此时杆的速度为v′，由能量守恒得$Q'+\frac{{mv'_{\;}^2}}{2}=\frac{mv_0^2}{2}$，
解得$v'=4\sqrt{2}m/s$；
此时杆产生的感应电动势为E=BLv=4$\sqrt{2}$，
干路中电流为I=$\frac{E}{{R}_{外}+r}$=2A
此时杆受到的安培力为F_A=ILB=2N，
根据牛顿第二定律可得杆的加速度大小为a=$\frac{{F}_{A}}{m}$=4$\sqrt{2}$m/s²，
（3）根据q₁=I₁t=$\frac{△Φ}{{R}_{外}+r}$=$\frac{BLvt}{2（{R}_{外}+r）}$，
虽然v是变化的，但整个过程vt的乘积一定等于总位移，
所以q₁=$\frac{BLx}{2（{R}_{外}+r）}$=$\frac{1×1×8}{2（2+2）}$C=1C．
答：（1）杆的整个运动过程中，电阻R₁上产生的热量为4J；
（2）当电阻R₁产生的热量达到2J时，杆此时的加速度大小为4$\sqrt{2}$m/s²；
（3）杆在整个运动过程中，通过电阻R₁的电量为1C．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．