Question

4．如图所示，质量m=0.2kg的足够长“U”形金属导轨abcd放置在倾角θ=37°的光滑绝缘斜面上，导轨bc段长L=1m，电阻R=0.5Ω，其余电阻不计．另一质量和电阻与导轨均相同的导体棒PQ垂直放置在导轨上，且与导轨接触良好，棒与导轨间动摩擦因数μ=0.5，其左下侧有两个固定于斜面的光滑绝缘立柱．以ef为界，下侧匀强磁场方向沿斜面向上，磁感应强度大小为B=1T，上侧磁场B′方向垂直斜面向上．初始bcfe构成与正方形，用轻质细线跨过理想定滑轮将bc段中点与与质量为M的重物相连，细线伸直时与导轨bc段垂直．现将重物由静止释放．（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°=0.6，g取10m/s²）
（1）若重物以a=2m/s²的加速度向下运动，从重物开始运动计时，此时B′=B₀，为使导轨运动过程中PQ始终无感应电流产生，求B′随时间t变化的规律；
（2）若M=0.1kg，且B′变化规律为B₁=kt（k=2T/s），求经多长时间金属导轨开始滑动；
（3）若M=0.3kg，且B′=B=1T，在导轨开始运动至获得最大速度的过程中，棒PQ产生的焦耳热Q=0.15J，通过棒点的电荷量q=1.5C，求此过程中因摩擦增加的内能△E．

Answer 1

分析 （1）为使金属棒中不产生感应电流，回路中磁通量应不变，据此列式求解；
（2）根据法拉第电磁感应定律，求出电路中的电动势，由闭合电路的欧姆定律求出电路中的电流值，由F=BIL求出安培力，然后结合共点力平衡，即可求出金属导轨刚刚要发生运动的时间；
（3）由共点力平衡的条件先求出导轨的最大速度，然后结合功能关系以及电流的表达式即可求出．

解答 解：（1）当回路中的总磁通量不变时，棒中不产生感应电流，沿导轨做匀加速运动．设经过时间t，通过的距离为x，则：
$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
又：${B}_{0}{L}^{2}={B}_{t}（{L}^{2}+Lx）$
联立得：${B}_{t}=\frac{{B}_{0}}{1+{t}^{2}}$
（2）根据法拉第电磁感应定律，电路中的电动势：E=$\frac{△{B}_{t}}{△t}•{L}^{2}=k{L}^{2}$
感应电流：I=$\frac{E}{2R}$
经过时间t，磁感应强度：B_t=kt
金属导轨受到的安培力：F=B_tIL=kILt
摩擦力：f=μ（IBL+mgcosθ）
当mgsinθ+ILB₁=f+Mg时，金属导轨刚刚要发生移动，
联立解得：t=0.4s
（3）导轨的速度最大时，有：mgsinθ+ILB₁+f=Mg
又：I=$\frac{BL{v}_{m}}{2R}$
联立得：${v}_{m}=\frac{2}{3}$m/s
导轨从刚开始运动到速度最大的过程中，由能量守恒定律得：$Mgx′-mgsinθ•x′=\frac{1}{2}（M+m）{v}_{m}^{2}+2Q+△E$
而q=$\overline{I}t$
其中：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{2R}$；
平均电动势：$\overline{E}=\frac{△Φ}{t}$
联立得：△E≈2.3J
答：（1）若重物以a=2m/s²的加速度向下运动，从重物开始运动计时，此时B′=B₀，为使导轨运动过程中PQ始终无感应电流产生，B′随时间t变化的规律为${B}_{t}=\frac{{B}_{0}}{1+{t}^{2}}$；
（2）若M=0.1kg，且B′变化规律为B₁=kt（k=2T/s），经过0.4s金属导轨开始滑动；
（3）此过程中因摩擦增加的内能△E为2.3J．

点评 对金属棒正确受力分析、分析清楚金属棒的运动过程、应用安培力公式、平衡条件等，即可正确解题．要明确产生感应电流的条件：闭合电路的磁通量变化．