Question

10．欧洲大型强子对撞机是现在世界上最大，能量最高的粒子加速器，是一种将质子加速对撞的高能物理设备，其原理可简化如下：两束横截面积极小长度为l₀质子束以初速度v₀同时从左、右两侧入口射入加速电场，离开电场后经过相同的一段距离射入垂直纸面的圆形匀强磁场区域并被偏转，最后两质子束发生相碰，已知质子质量为m，电量为e，加速极板AB、A′B′极间距相同、极间电压均为U₀，且满足eU₀=$\frac{3}{2}$mv₀²．两磁场磁感应强度相同，半径均为R，圆心O、O′在质子束的入射方向上，其连线与质子入射方向垂直且距离为H=$\frac{7}{2}$R，整个装置处于真空中，忽略粒子间的相互作用及相对论效应．
（1）试求质子束经过加速电场加速后（未进入磁场）的速度v和长度l；
（2）试求出磁场磁感应强度B；粒子束可能发生碰撞的时间△t．
（3）若某次实验时将上方磁场的圆心O往上移了$\frac{R}{2}$，其余条件均不变，则质子束能否相碰？若不能，请说明理由；若能，请说明相碰的条件及可能发生碰撞的时间△t′．

Answer 1

分析 （1）由动能定理即可求出粒子的速度，由位移公式即可求出长度l；
（2）由半径公式即可求出磁感应强度，由位移公式即可求出时间；
（3）通过运动的轨迹与速度的方向分析能否发生碰撞．

解答 解：（1）质子加速的过程中，电场力做功，得：$e{U}_{0}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
将eU₀=$\frac{3}{2}$mv₀²代入得：v=2v₀
由于是相同的粒子，又在相同的电场中加速，所以可知，所有粒子在电场中加速的时间是相等的，在加速 之前，进入电场的时间差：$t=\frac{{l}_{0}}{{v}_{0}}$
出电场的时间差也是△t，所以，出电场后，该质子束的长度：L=vt=2v₀t=2l₀
（2）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，在偏转后粒子若发生碰撞，则只有在粒子偏转90°时，才可能发生碰撞，所以碰撞的位置在OO′的连线上．
洛伦兹力提供向心力，即：$evB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
所以：B=$\frac{mv}{eR}$=$\frac{2m{v}_{0}}{eR}$
由于洛伦兹力只改变磁场的方向，不改变粒子的速度，所以粒子经过磁场后的速度的大小不变，由于所有粒子的速度大小相等，所以应先后到达同一点，所以碰撞的时间：△t=$\frac{L}{v}=\frac{2{l}_{0}}{2{v}_{0}}=\frac{{l}_{0}}{{v}_{0}}$
（3）某次实验时将磁场O的圆心往上移了$\frac{R}{2}$，其余条件均不变，则质子束经过电场加速后的速度不变，而运动的轨迹不再对称．
对于上边的粒子，不是对着圆心入射，而是从F点入射，如图：E点是原来C点的位置，连接OF、OD，作FK平行而且等于OD，再连接KD，由于OD=OF=FK，则四边形ODFK是菱形，即KD=KF，所以粒子仍然从D点射出，但方向不是沿OD的方向，K为粒子束的圆心．
由于磁场向上移了$\frac{1}{2}R$，故：$sin∠COF=\frac{\frac{1}{2}R}{R}=\frac{1}{2}$
得：$∠COF=\frac{π}{6}$，$∠DOF=∠FKD=\frac{π}{3}$
而对于下边的粒子，没有任何的改变，故两束粒子若相遇，则一定在D点相遇．
下方的粒子到达C′后先到达D点的粒子需要的时间：$t′=\frac{\frac{πR}{2}+（H+\frac{1}{2}R-2R）}{2{v}_{0}}=\frac{π+4}{4{v}_{0}}R$
而上方的粒子到达E点后，最后到达D点的粒子需要的时间：$t=\frac{l+\overline{EF}+\overline{FD}}{2{v}_{0}}=\frac{2{l}_{0}+（R-Rsin\frac{π}{3}）+\frac{π}{3}R}{2{v}_{0}}$=$\frac{2{l}_{0}+\frac{6+2π-3\sqrt{3}}{6}R}{2{v}_{0}}$
若t′＞t．即当${l}_{0}＜\frac{π+3\sqrt{3}+6}{12}R$时，两束粒子不会相遇；
若t′＜t．即当${l}_{0}≥\frac{π+3\sqrt{3}+6}{12}R$时，两束粒子可能相碰撞的最长时间：△t=t-t′=$\frac{{l}_{0}}{{v}_{0}}-\frac{π+3\sqrt{3}+6}{12{v}_{0}}R$
答：（1）质子束经过加速电场加速后（未进入磁场）的速度是2v₀，长度是2l₀；
（2）试求出磁场磁感应强度是$\frac{2m{v}_{0}}{eR}$，粒子束可能发生碰撞的时间是$\frac{{l}_{0}}{{v}_{0}}$．
（3）若某次实验时将磁场O的圆心往上移了$\frac{R}{2}$，其余条件均不变，当${l}_{0}＜\frac{π+3\sqrt{3}+6}{12}R$时，两束粒子不会相遇；
当${l}_{0}≥\frac{π+3\sqrt{3}+6}{12}R$时，两束粒子可能相碰撞的最长时间：△t=t-t′=$\frac{{l}_{0}}{{v}_{0}}-\frac{π+3\sqrt{3}+6}{12{v}_{0}}R$．

点评 该题属于分析物理实验的题目，虽然给出的情况比较新颖，但是，只有抓住带电粒子在电场中运动的规律与带电粒子在磁场中运动的规律，使用动能定理与磁场中的半径公式即可正确解答．中档题目．