Question

11．质量为m的小车以恒定的速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动，小车与圆轨道间的动摩擦因数为μ，则小车从轨道最低点运动到最高点的过程中克服摩擦力所做的功为πμmv²．

Answer 1

分析 小车沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程，由于轨道的支持力是变力，所以所受的摩擦力也是变力，不能根据功的公式求克服摩擦力做功，可用微元法求解．

解答 解：如图，将小车运动的半个圆周均匀细分成n（n→∞）等分，在每段长$\frac{πR}{n}$的圆弧上运动时，可认为轨道对小车的支持力N_i不变，因而小车所受的摩擦力f_i不变，摩擦力的功可以用 W=Fs计算．
当小车运动到如图所示的A处圆弧时有：
N_iA-mgsinθ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
则有：f_iA=μN_iA=μ（mgsinθ+m$\frac{{v}^{2}}{R}$）
W_iA=μ（mgsinθ+m$\frac{{v}^{2}}{R}$）$\frac{πR}{n}$
当小车运动到如图所示的与A关于x轴对称的B处圆弧时，有：
N_iB+mgsinθ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
则 f_iB=μN_iB=μ（m$\frac{{v}^{2}}{R}$-mgsinθ）
W_iB=μ（m$\frac{{v}^{2}}{R}$-mgsinθ）$\frac{πR}{n}$
由此，小车关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为
W_i=2μm$\frac{{v}^{2}}{R}$•$\frac{πR}{n}$
则知，小车从轨道最低点运动到最高点的过程中克服摩擦力所做的总功为
W=$\sum_{i=1}^{\frac{n}{2}}$W_i=$\frac{n}{2}•\frac{2πμm{v}^{2}}{n}$=πμmv²
故答案为：πμmv²．

点评 解决本题的关键要运用微元法求变力做功，要知道摩擦力是变力，不能直接根据功的公式计算其做功．