题目内容
11.质量为m的小车以恒定的速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动,小车与圆轨道间的动摩擦因数为μ,则小车从轨道最低点运动到最高点的过程中克服摩擦力所做的功为πμmv2.分析 小车沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程,由于轨道的支持力是变力,所以所受的摩擦力也是变力,不能根据功的公式求克服摩擦力做功,可用微元法求解.
解答 解:如图,将小车运动的半个圆周均匀细分成n(n→∞)等分,在每段长$\frac{πR}{n}$的圆弧上运动时,可认为轨道对小车的支持力Ni不变,因而小车所受的摩擦力fi不变,摩擦力的功可以用 W=Fs计算.
当小车运动到如图所示的A处圆弧时有:
NiA-mgsinθ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
则有:fiA=μNiA=μ(mgsinθ+m$\frac{{v}^{2}}{R}$)
WiA=μ(mgsinθ+m$\frac{{v}^{2}}{R}$)$\frac{πR}{n}$
当小车运动到如图所示的与A关于x轴对称的B处圆弧时,有:
NiB+mgsinθ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
则 fiB=μNiB=μ(m$\frac{{v}^{2}}{R}$-mgsinθ)
WiB=μ(m$\frac{{v}^{2}}{R}$-mgsinθ)$\frac{πR}{n}$
由此,小车关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为
Wi=2μm$\frac{{v}^{2}}{R}$•$\frac{πR}{n}$
则知,小车从轨道最低点运动到最高点的过程中克服摩擦力所做的总功为
W=$\sum_{i=1}^{\frac{n}{2}}$Wi=$\frac{n}{2}•\frac{2πμm{v}^{2}}{n}$=πμmv2
故答案为:πμmv2.
点评 解决本题的关键要运用微元法求变力做功,要知道摩擦力是变力,不能直接根据功的公式计算其做功.
练习册系列答案
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