题目内容
3.如图所示,细绳一端系一质量为m的小球,一端悬挂在O点,绳长为l;小球静止在最低点A处,现通过瞬时作用使小球获得一水平向右的初速度v,问初速度v满足什么条件,绳始终被拉直?分析 要保证小球在运动过程中绳子始终不松弛,小球应做完整的圆周运动或在圆心下方运动.小球恰好能通过最高点时,向心力等于小球的重力,由此列式求最高点的最小值;恰好到达与圆心O等高位置时速度为零,再由机械能守恒定律求v0满足的条件.
解答 解:小球在运动过程中绳子始终不松弛,有两种情况:
第一情况:小球做完整的圆周运动,设小球通过最高点的最小速度为v.
则有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
从最低点到最高点的过程,由机械能守恒定律得
$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$=2mgL+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立解得 v0=$\sqrt{5gL}$=$\sqrt{10}$m/s
所以,要使小球做完整的圆周运动,必须满足的条件是:v0≥$\sqrt{10}$m/s.
第二情况:小球在圆心下方运动,上升的最高点与圆心O等高,则由机械能守恒定律有
$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$=mgL,解得 v0=$\sqrt{gL}$=$\sqrt{2}$m/s
在这种情况下,绳子始终不松弛,v0满足的条件是:0<v0≤$\sqrt{2}$m/s.
综上,v0满足的条件是:v0≥$\sqrt{10}$m/s或0<v0≤$\sqrt{2}$m/s.
答:初速度v满足v0≥$\sqrt{10}$m/s或0<v0≤$\sqrt{2}$m/s时绳始终被拉直
点评 解决本题的关键要掌握圆周运动的临界条件:在最高点时,最小向心力等于重力.绳子刚松驰时,绳子的拉力为零,由重力指向圆心的分力提供向心力.要熟练应用向心力公式、机械能守恒定律即可正确解题.
练习册系列答案
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