Question

8．当平行板电容器的两极板间是真空时，电容C与极板的正对面积S、极板间距离d的关系为C=$\frac{S}{4πkd}$．对给定的平行板电容器充电，当该电容器极板所带电荷量Q变化时，两极板间的电势差U也随之变化．
（1）在图所示的坐标系中画出电容器带电量Q与极板间电势差U的关系图象．
（2）电容器储存的电能等于电源搬运电荷从一个极板到另一个极板过程中，克服电场力所做的功．在弹簧弹力F与形变量x关系图象中，图象与x轴围成的面积代表弹簧弹性势能的大小．与之类比，推导电容器储存的电能表达式E=$\frac{1}{2}$CU²．
（3）若保持平行板电容器带电量Q、极板正对面积S不变，两极板间为真空，将板间距离由d₁增大到d₂，需要克服电场力做多少功？

Answer 1

分析 （1）根据电容的定义式C=$\frac{Q}{U}$得到Q与U的关系式，再画出Q-U图象．
（2）Q-U图象与横坐标轴围成的面积为对电容器充电过程中，电容器储存的电能，由数学知识推导．
（3）根据电容的决定式、电容的定义式得到电容器储存的电能表达式，再由功能关系求解．

解答 解：（1）对于给定的电容器电容C一定，根据电容的定义式C=$\frac{Q}{U}$得Q=CU，则Q-U图象如图所示．
（2）该图象的斜率为电容器电容C，图象与横坐标轴围成的面积为对电容器充电过程中，电容器储存的电能．故
  E=$\frac{1}{2}$QU
由Q=CU得：E=$\frac{1}{2}$CU²．
（3）板间距离为d时，平行板电容器的电容为 C=$\frac{S}{4πkd}$
当电容器带电量为Q时，两板间电压 U=$\frac{Q}{C}$
得电容器储存的电能为 E=$\frac{1}{2}$CU²=$\frac{2πkd{Q}^{2}}{S}$
当板间距离由d₁增大到d₂时，电容器储存的电能增加量为
△E=E₂-E₁=$\frac{2πk{Q}^{2}}{S}$（d₂-d₁）
故需要克服电场力做功 W=△E=$\frac{2πk{Q}^{2}}{S}$（d₂-d₁）
答：
（1）如图所示．
（2）推导过程见上．
（3）将板间距离由d₁增大到d₂，需要克服电场力做功为$\frac{2πk{Q}^{2}}{S}$（d₂-d₁）．

点评 解决本题的基础是掌握电容的定义式C=$\frac{Q}{U}$和电容的定义式C=$\frac{S}{4πkd}$．关键是要理解Q-U图象与横坐标轴围成的面积表示电容器充电过程中电容器储存的电能．