Question

13．如图所示，在光滑的水平地面上有一质量为M的小车，小车的AB段是光滑的$\frac{1}{4}$圆弧，BC段是粗糙的水平面，C点右侧是光滑平面，固定于右侧挡板的轻弹簧自由伸长时，恰好在C点，一可视为质点的滑块，从圆弧高处A由静止下滑，与弹簧相接触并压缩弹簧，滑块最高能滑到距B点的$\frac{R}{2}$高度的圆弧上，已知滑块的质量为m，BC段的长度为l，重力加速度为g，求：
（1）BC段的动摩擦因数μ的大小；
（2）弹簧具有的最大弹性势能的大小；
（3）当滑块与弹簧刚分离时滑块和小车的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据系统动量守恒知，最终滑块和小车是保持相对静止，速度为零，根据能量守恒求出BC段的动摩擦因数的大小．
（2）当弹簧压缩最大时，滑块和小车的速度为零，根据能量守恒求出弹簧的弹性势能．
（3）根据能量守恒和动量守恒定律求出当滑块和弹簧刚分离时滑块和小车的速度大小．

解答 解：（1）滑块与小车初状态是静止的，末状态也相对于小车静止，两者共同速度也为零，
根据能量守恒定律得，$mg（R-\frac{R}{2}）=μmg•2l$，
解得$μ=\frac{R}{4l}$．
（2）弹簧压缩到最大形变量时，滑块和小车的速度为零，根据能量守恒定律得，
弹簧的弹性势能${E}_{p}=mgR-μmgl=\frac{3}{4}mgR$．
（3）弹簧与滑块分离时，设滑块的速度为v₁，小车的速度为v₂，根据能量守恒定律得，${E}_{p}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{2}}^{2}$，
又因为系统动量守恒，规定向右为正方向，有：mv₁-Mv₂=0，
联立解得${v}_{1}=\sqrt{\frac{3MRg}{2（M+m）}}$，${v}_{2}=\frac{m}{M}\sqrt{\frac{3MRg}{2（M+m）}}$．
答：（1）BC段的动摩擦因数μ的大小为$\frac{R}{4l}$；
（2）弹簧具有的最大弹性势能的大小为$\frac{3}{4}mgR$；
（3）当滑块与弹簧刚分离时滑块和小车的速度大小分别为$\sqrt{\frac{3MRg}{2（M+m）}}$、$\frac{m}{M}\sqrt{\frac{3MRg}{2（m+M）}}$．

点评 本题考查了动量守恒定律、能量守恒的综合运用，知道系统初状态的总动量为零，则两者保持相对静止时，速度为零，结合动量守恒和能量进行求解．