Question

11．量纲分析法是自然科学中一种重要的研究方法．通过量纲分析可提供寻找物理现象某些规律的线索．
（1）光滑水平面上的弹簧振子的运动是一种周期性的运动，可以猜想其周期与物体的质量m和弹簧的劲度系数k有关，则其周期T=am^αk^β，a为待定的没有单位的常数．已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等．则α、β分别为多大？
（2）（a）一质量为m、长为l的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内自由转动．当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为E_k=km^αl^βω^γ式中，k为待定的没有单位的纯常数．由此求出α、β和γ的值．
（b）接（a），如果已知k=$\frac{1}{6}$，在杆的另一端固定一个质量为m的小球，杆在水平状态由静止开始下摆，求细杆摆到竖直位置时的角速度ω．

Answer 1

分析 量纲分析是自然科学中一种重要的研究方法，它根据一切量所必须具有的形式来分析判断事物间数量关系所遵循的一般规律．通过量纲分析可以检查反映物理现象规律的方程在计量方面是否正确，甚至可提供寻找物理现象某些规律的线索．
细杆摆到竖直位置过程中，根据系统机械能守恒列出等式求解角速度．

解答 解：（1）周期与物体的质量m和弹簧的劲度系数k有关，则其周期T=am^αk^β，a为待定的没有单位的常数，
质量m的单位是kg，劲度系数k的单位是N/m，
根据F=ma得1N=1kg•m/s²，即劲度系数k的单位是1kg•s²，
周期T的单位是s，所以α=0.5，β=-0.5，
（2）转动动能可表示为E_k=km^αl^βω^γ式中，k为待定的没有单位的纯常数．
质量m的单位是kg，长度l的单位是m，ω的单位是1rad/s=1/s，
转动动能E_k的单位是1J=1N•m=1kg•m²/s²，
α、β和γ的值分别是α=1；β=2，γ=2．
（3）根据机械能守恒得
mg×$\frac{l}{2}$+mgl=$\frac{1}{2}$m（ωl）²+$\frac{1}{6}$ml²ω²，
解得：ω=$\sqrt{\frac{9g}{4l}}$．
答：（1）α、β分别为0.5和-0.5．
（2）α、β和γ的值分别是1，2，和2．
（3）细杆摆到竖直位置时的角速度是$\sqrt{\frac{9g}{4l}}$．

点评 各种物理量之间存在着关系，说明它们的结构必然由若干统一的基础成分所组成，并按各成分的多寡形成量与量间的千差万别，正如世间万物仅由百余种化学元素所构成．明确两个系统机械能守恒，单个球机械能不守恒．