Question

20．如图所示，水平圆形转台能绕过圆心的竖直转轴转动，转台半径R=1m，在转台的边缘叠放物体A、B（均可看作质点），A，B之间的动摩擦因数μ₁=0.6，B与转台之间动摩擦因数μ₂=0.7，且m_A=1kg，m_B=4kg，（g取10m/s²，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

（1）当转台以ω₁=2rad/s匀速转动时，如图a，此时B对转台的摩擦力是多少？
（2）现用一根长l=$\sqrt{2}$m的轻绳将B，C相连，轻绳能够承受的最大拉力为10$\sqrt{2}$N，C物体（可看作质点）的质量m_C=1kg，让转台从静止缓慢加速转动至ω₁=$\sqrt{7}$rad/s的过程中，如图b，求B对转台摩擦力第一次发生突变时的角速度并写出此后B对转台的摩擦力与角速度的函数关系（要求写出必要的计算推理过程）

Answer 1

分析 （1）A做匀速圆周运动的向心力由静摩擦力提供，则当A的摩擦力达到最大值时，角速度最大值，求出最大角速度，与题中所给的角速度比较分析求解；
（2）刚开始，ABC三个物体都做做匀速圆周运动，随着角速度的增大，当绳子刚好断裂时，B受到的摩擦力发生突变，对C受力分析，根据向心力公式求解此时的角速度，绳子断掉后，AB一起绕轴转动，受力分析，根据（1）中所求角速度判断AB分离的角速度，此后B继续绕轴做圆周运动，根据静摩擦力提供向心力结合牛顿第三定律求出B对转台的摩擦力与角速度的函数关系．

解答 解：（1）A做匀速圆周运动的向心力由静摩擦力提供，则当A的摩擦力达到最大值时，角速度最大值，则有
${μ}_{1}{m}_{A}g={m}_{A}{{ω}_{Amax}}^{2}R$
解得：ω_Amax=$\sqrt{6}rad/s$
因为ω₁=2rad/s$＜\sqrt{6}rad/s$，则AB相对静止，把AB看成一个整体，由转台对B的摩擦力提供向心力得：
f=$（{m}_{A}+{m}_{B}）{{ω}_{1}}^{2}R$=（1+4）×2²×1=20N
根据牛顿第三定律可知，此时B对转台的摩擦力是20N；
（2）刚开始，ABC三个物体都做做匀速圆周运动，随着角速度的增大，当绳子刚好断裂时，B受到的摩擦力发生突变，此时对C受力分析，受到重力，绳子的拉力，合力提供向心力，设此时绳子与竖直方向的夹角为θ，则有：
sin$θ=\frac{mg}{T}=\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以θ=45°，
C绕轴转动的半径为：
r=R+lsin45°=1+$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=2m，
根据向心力公式得：
Tcos45°=${m}_{C}{ω′}^{2}r$
解得：$ω′=\sqrt{5}rad/s$，即B对转台摩擦力第一次发生突变时的角速度为$\sqrt{5}rad/s$，
绳子断掉后，AB一起绕轴转动，当$ω＞\sqrt{6}rad/s$时，AB分离，A做离心运动，B继续绕轴做圆周运动，
当B达到最大静摩擦时，B转动的角速度最大，则${μ}_{2}{m}_{B}g={m}_{B}{{ω}_{Bmax}}^{2}R$，
解得：${ω}_{Bmax}=\sqrt{7}rad/s$，
则当$\sqrt{5}rad/s＜ω≤\sqrt{6}rad/s$时，B受到的摩擦力与角速度的函数关系为：f=$（{m}_{A}+{m}_{B}）{{ω}_{\;}}^{2}R$=5ω²，
当$\sqrt{6}rad/s＜ω≤\sqrt{7}rad/s$时，B受到的摩擦力与角速度的函数关系为：f=${m}_{B}{{ω}_{\;}}^{2}R$=4ω²，
根据牛顿第三定律可知：则当$\sqrt{5}rad/s＜ω≤\sqrt{6}rad/s$时，B对转台的摩擦力与角速度的函数关系为：f=$（{m}_{A}+{m}_{B}）{{ω}_{\;}}^{2}R$=5ω²，
当$\sqrt{6}rad/s＜ω≤\sqrt{7}rad/s$时，B对转台的摩擦力与角速度的函数关系为f=${m}_{B}{{ω}_{\;}}^{2}R$=4ω²．
答：（1）当转台以ω₁=2rad/s匀速转动时，如图a，此时B对转台的摩擦力是20N；
（2）B对转台摩擦力第一次发生突变时的角速度为$\sqrt{5}rad/s$，此后，当$\sqrt{5}rad/s＜ω≤\sqrt{6}rad/s$时，B对转台的摩擦力与角速度的函数关系为f=$（{m}_{A}+{m}_{B}）{{ω}_{\;}}^{2}R$=5ω²，当$\sqrt{6}rad/s＜ω≤\sqrt{7}rad/s$时，B对转台的摩擦力与角速度的函数关系为f=${m}_{B}{{ω}_{\;}}^{2}R$=4ω²．

点评 本题主要考查了向心力公式的直接应用，解题的关键是正确对物体进行受力分析，知道B对转台摩擦力第一次发生突变时的临界条件，特别注意C做圆周运动的半径是C到转轴的距离，难度较大，属于难题．