Question

9．如图甲所示，是建筑工地将桩料打入泥土中以加固地基的打夯机示意图，打夯前先将桩料扶正立于地基上．已知夯锤的质量为M=450kg，桩料的质量为m=50kg．每次打夯都通过卷扬机牵引将夯锤提升到距离桩顶h₀=5m处再释放，让夯锤自由下落，夯锤砸在桩料上并不弹起，而是随桩料一起向下运动．桩料进入泥土后所受阻力随打入深度h的变化关系如图乙所示，直线斜率k=5.05×10⁴N/m．g=10m/s²，求
（1）夯锤与桩斜碰撞完毕后，随桩料一起向下运动的速度是多少？
（2）打完第一夯后，桩料进入泥土的深度．（假设打第一夯前，桩料未进入泥土）

Answer 1

分析 （1）夯锤先自由下落，然后与桩料碰撞．先由运动学公式求出与桩料碰撞前瞬间的速度．对于碰撞过程，由于内力远大于外力，所以系统的动量守恒，由动量守恒定律求出碰后共同速度．
（2）夯锤与桩料一起下沉的过程，重力和阻力做功，由动能定理可求得桩料进入泥土的深度．

解答 解：（1）夯锤与桩料碰撞前瞬间的速度 v₀²=2gh₀，得 v₀=$\sqrt{2g{h}_{0}}$=$\sqrt{2×10×5}$=10m/s
取向下为正方向，打击过程遵守动量守恒定律，则得
   Mv₀=（M+m）v
代入数据解得 v=9m/s
（2）由乙图知，桩料下沉过程中所受的阻力是随距离均匀变化，可用平均力求阻力做功，为 W_f=-$\frac{1}{2}kh$•h=-$\frac{1}{2}k{h}^{2}$
对夯锤与桩料，由动能定理得
   （M+m）gh+W_f=0-$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
代入数据解得 h=1m
答：
（1）夯锤与桩斜碰撞完毕后，随桩料一起向下运动的速度是9m/s．
（2）打完第一夯后，桩料进入泥土的深度是1m．

点评 本题的关键是要分析物体的运动过程，抓住把握每个过程的物理规律．要知道当力随距离均匀变化时，可用平均力求功，也可用图象法，力与距离所夹面积表示阻力做功的大小．