Question

5．如图示，劲度系数为K的弹簧和物块m₁，m₂固定连接，放在质量为M倾角为θ的光滑斜面上．m₁=m₂=m，使m₁在AOB间做简谐运动，A B为最大位置，O为平衡位置．m₂恰好不会离开挡板．斜面始终保持静止．求
（1）m₁在平衡位置时弹簧形变量
（2）m₁最大速度
（3）斜面受地面最大支持力和摩擦力（没有超过弹性限度）

Answer 1

分析 （1）在平衡位置，m₁受力平衡，根据平衡条件列式求解弹力，根据胡克定律求解弹簧形变量；
（2）m₁在平衡位置速度最大，在B点时，m₂恰好不会离开挡板，对m₂根据平衡条件求解弹簧弹力，根据胡克定律列式求解弹簧的行变量，最后对系统根据能量守恒定律列式求解m₁最大速度；
（3）对三个物体整体，当具有向上的最大加速度时，支持力和摩擦力最大，根据牛顿第二定律列式求解．

解答 解：（1）在平衡位置，m₁受力平衡，故：m₁gsinθ-kx₁=0；
解得：x₁=$\frac{{m}_{1}gsinθ}{k}$=$\frac{{m}_{\;}gsinθ}{k}$
（2）m₁在B点时，m₂恰好不会离开挡板，故：
kx₂-mgsinθ=0
解得：
x₂=$\frac{{m}_{\;}gsinθ}{k}$
m₁简谐运动的振幅：A=x₁+x₂=$\frac{2mgsinθ}{k}$
弹簧和m₁系统机械能守恒，故：
mgAsinθ+$\frac{1}{2}k（A+{x}_{1}）^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}k{x}_{1}^{2}$
联立解得：
v=$\frac{3gsinθ}{k}\sqrt{m}$
（3）m₁的最大加速度为：a=$\frac{kA}{m}$=2gsinθ
对三个物体整体，当具有向上的最大加速度时，支持力和摩擦力最大，故：
f=macosθ
N-（M+2m）g=（M+2m）asinθ
解得：
f=m（2gsinθ）cosθ=mgsin2θ
N=（M+2m）（g+asinθ）=（M+2m）g（1+2sin²θ）
答：（1）m₁在平衡位置时弹簧形变量为$\frac{{m}_{\;}gsinθ}{k}$；
（2）m₁最大速度为$\frac{3gsinθ}{k}\sqrt{m}$；
（3）斜面受地面最大支持力为（M+2m）g（1+2sin²θ），最大摩擦力为mgsin2θ．

点评 本题关键是明确滑块m₁做简谐运动，结合平衡条件、牛顿第二定律、简谐运动的对称性和机械能守恒定律列式求解，要知道弹簧的弹性势能表达式${E}_{p}=\frac{1}{2}k{x}^{2}$．