Question

20．如图1所示，组装成“S”形的轨道平放在竖直平面上，Oa部分为薄壁半圆形细管，固定在直角坐标平面xOy内，管口恰好落在原点O上，直径与Oy轴重合；ab部分为半圆形轨道，其半径r是可以调节的，直径也与Oy轴重合，两部分在a处圆滑连接．一个质量m=0.01kg的小球（可视为质点），以10m/s的速度从管口O点进入轨道，不计一切摩擦，取g=10m/s²．
（1）取r=1.6m时，发现小球恰好能从b处飞出，试求Oa部分的半径R；
（2）r取多大值，小球从b处飞出后，到达x轴上的位置（离原点）最远？
（3）现在O、b两点各放一个压力传感器，并计算出压力差△F；改变半径r的大小，重复实验，最后绘得△F-$\frac{1}{r}$图线如图2所示，求直线在△F轴上的截距．

Answer 1

分析 （1）小球恰能能从b处飞出时，轨道对小球没有作用力，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式得到速度与半径r的关系式；小球从O到b，运用动能定理列式，联立求解R；
（2）小球从b处飞出轨道后，做平抛运动；对O到b过程根据动能定理列式；再对平抛运动根据分位移公式列式；最后联立求解即可；
（3）在O点，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式；在b点，也是重力和支持力的合力提供向心力，再次根据牛顿第二定律列式；对从O到b过程根据动能定理列式；最后联立求解即可．

解答 解：（1）小球从O运动到b，设到b点的速度为v_b，据动能定理有：
-mg（R+2r）=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{b}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$ 
小球恰好过b点，即：F_N=0，
则有：mg=m$\frac{{v}_{b}^{2}}{r}$   
代入得：R=0.5m  
（2）小球在b点离开轨道后，在重力力作用下做平抛运动，
x方向：x=v_bt
y（负）方向：2R+2r=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$ 
结合①得：y=4$\sqrt{-（r-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{25}{16}}$
显然，当r=0.75m时x坐标有最大值．    
（3）设小球在O、b两点的作用力分别为F_O和F_b，则有：
F₀-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得：F₀=2.1N
F_b+mg=m$\frac{{v}_{b}^{2}}{r}$
得：F_b=$\frac{0.8}{r}-$0.5
△F=F₀-F_b=2.6$-\frac{0.8}{r}$  
所以截距为2.6N
答：（1）取r=1.6m时，发现小球恰好能从b处飞出，Oa部分的半径R为0.5m；
（2）r取0.75m，小球从b处飞出后，到达x轴上的位置（离原点）最远；
（3）直线在△F轴上的截距为2.6N．

点评 本题关键明确小球的运动规律，然后分段结合牛顿第二定律、动能定理和类平抛运动的分运动公式列式求解，属于中档题目．