Question

【题目】游乐场中有各种各样的玩具车如图1，其中有一种玩具车的运动情况可以简化为如下模型：如图2所示，轨道ABCD位于竖直平面内，水平轨道AB与过山圆弧轨道相切于B点；C与圆心O等高；质量m＝50kg的小车（可视为质点）静止在水平轨道上的点A；己知A点与B点相距L＝40m，竖直圆轨道的半径R＝10m，圆弧光滑；小车在水平轨道AB间运动时受到的阻力恒为其重力的0.3倍。其它摩擦与空气阻力均忽略不计，重力加速度为g＝10m/s2。若小车用自带的电动机提供动力，电动机输出功率恒为P0＝5kW。试求：

（1）若小车刚好能到达C点，求小车经过最低点B时对轨道的压力；

（2）若小车在某一时刻关闭发动机，要使小车都不脱离轨道，则发动机工作时间的取值范围如何。

Answer 1

【答案】（1）1500N，方向竖直向下；3000N，方向竖直向下（2）t1≤2.2s；t2≥3.7s

【解析】

（1）情形1：小车没有通过C点，根据全过程动能定理可得，小车发动机工作时间满足：

解得

情形1：小车通过D点，根据全过程动能定理可得，小车发动机工作时间满足：

解得

（2）由于情形1：小车发动机工作时间取最大值时，小车刚好到达C点返回，到达B点速度大小满足：

解得

小车到达B点圆形轨道支持力满足：

解得：

根据牛顿第三定律可得小车对圆形轨道的压力为1500N，方向竖直向下；

对情形2：小车发动机工作时间取最小值时，到达B点速度大小满足：

解得

小车到达B点圆形轨道支持力满足：

解得：

根据牛顿第三定律可得小车对圆形轨道的压力为3000N，方向竖直向下；