Question

10．有一块厚度为h、半径为R的圆饼状玻璃砖，折射率为$\sqrt{2}$，现经过圆心截取四分之一，如图所示．两个截面为互相垂直的矩形，现使截面ABNM水平放置，一束单色光与该面成45°角入射，恰好覆盖该截面，如果不考虑玻璃砖内的反射光，求：
（i）从ABCD弧面射出的光线在玻璃砖内的最长时间（已知光在真空中传播速度为c）；
（ii）ABCD弧面上有光线射出的面积．

Answer 1

分析 （i）从N或M点射入玻璃柱体的光线在玻璃砖传播的距离最长，由v=$\frac{c}{n}$求出光线在玻璃砖内的传播速度，从而求得最长时间．
（ii）作出两条特殊光线，一是从N或M点射入玻璃柱体的光线，二是在BC圆弧面上发生恰好全反射的光线，有光透出的部分在这两条光线之间，然后根据几何关系求解．

解答 解：（i）从N或M点射入玻璃柱体的光线在玻璃砖传播的距离最长，最长距离 S=R
光线在玻璃砖内的传播速度 v=$\frac{c}{n}$
所以光线在玻璃砖内的最长时间为 t=$\frac{S}{v}$=$\frac{nR}{c}$=$\frac{\sqrt{2}R}{c}$
（ii）根据折射定律有：n=$\frac{sini}{sinr}$，得sinr=$\frac{sini}{n}$=$\frac{sin45°}{\sqrt{2}}$=0.5，折射角 r=30°，即光进入玻璃后光线与竖直方向的夹角为30°．
过N的光线垂直入射到BC界面上点D射出，C到D之间没有光线射出；越接近B的光线入射到BC界面上时的入射角越大，发生全反射的可能性越大．
根据临界角公式：sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得临界角 C=45°
设BC界面上的临界点为E，此光线在NB界面上点F入射，在三角形NEB中可求得NE与水平方向的夹角为：
  180°-（120°+45°）=15°
所以E到B之间没有光线射出．由此可得没有光线射出的圆弧对应圆心角为 90°-（30°+15°）=45°=$\frac{π}{4}$
所以有光透出的部分的弧长为$\frac{1}{4}$πR，则ABCD面上有光透出部分的面积为 S=$\frac{1}{4}$πRh．
答：
（i）从ABCD弧面射出的光线在玻璃砖内的最长时间是$\frac{\sqrt{2}R}{c}$．
（ii）ABCD弧面上有光线射出的面积是$\frac{1}{4}$πRh．

点评 根据光的折射、全反射原理在AB弧面上找到有光线透出的范围，然后依据几何关系求解．