Question

3．探月工程三期飞行试验器在中国西昌卫星发射中心发射升空，最终进入距月球表面h的圆形工作轨道．设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则下列选项正确的是（　　）

• A． 飞行试验器在工作轨道上的加速度为（$\frac{R}{R+h}$）²g
• B． 飞行试验器绕月球运行的周期为2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• C． 飞行试验器在工作轨道上的绕行速度为$\sqrt{g（R+h）}$
• D． 月球的平均密度为$\frac{3g}{4πGR}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出飞行试验器在工作轨道上的线速度、加速度．
根据线速度和轨道半径求出周期，根据万有引力等于重力求出月球的质量，从而得出月球的平均密度．

解答 解：A、根据$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=ma$，得$a=\frac{GM}{（R+h）_{\;}^{2}}$，又$GM=g{R}_{\;}^{2}$，则$a=（\frac{R}{R+h}）_{\;}^{2}g$，故A正确；
B、飞行器绕月的周期$T=2π\sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{GM}}$，其中$GM=g{R}_{\;}^{2}$，得$T=2π\sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$，故B错误；
C、根据$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R+h}$，飞行器在工作轨道的线速度$v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$，其中$GM=g{R}_{\;}^{2}$，得$v=\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{R+h}}$，故C错误；
D、根据$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，得月球的质量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，月球的体积$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$，月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3g}{4πGR}$，故D正确；
故选：AD

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．