Question

7．如图（a）所示，平行金属板A和B间的距离为d，现在A、B板上加上如图（b）所示的方波形电压，t=0时A板比B板的电势高，电压的正向值为U₀，反向值也为U₀，现有由质量为m的带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，从AB的中点O以平行于金属板方向OO'的速度v₀=$\frac{q{U}_{0}T}{3dm}$不断射入，所有粒子不会撞到金属板且在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响．试求：

（1）粒子射出电场时的速度大小及方向；
（2）粒子打出电场时位置离O'点的距离范围；
（3）若要使打出电场的粒子经某一垂直纸面的圆形区域匀强磁场偏转后，都能到达圆形磁场边界的同一个点，而便于再收集，则磁场区域的最小半径和相应的磁感强度是多大？

Answer 1

分析 （1）将粒子的运动沿着平行于初速度方向和垂直于初速度的方向正交分解，在平行于初速度方向，粒子做匀速直线运动，在垂直于初速度方向，粒子在电场力的作用下做变速直线运动，求出两个方向上的分速度，最后得到合速度即可；
（2）粒子在t=0、T、2T…时刻进入时，O′位置偏向最下端；粒子在t=nT+$\frac{1}{3}$T时时刻进入时，O′位置偏向最上端，根据运动学公式列式求解即可．
（3）粒子在打出粒子的速度都是相同的，由速度合成法求出粒子的速度．要使平行粒子能够交于圆形磁场区域边界且有最小区域时，磁场直径最小值与粒子宽度相等，即可得到磁场区域的最小半径．粒子进入匀强磁场中，由洛伦兹力提供向心力，可牛顿第二定律求出相应的磁感强度

解答 解：（1）飞出粒子的速度都相同，在沿电场线方向速度大小均为${v}_{y}^{\;}=\frac{q{U}_{0}^{\;}}{dm}•\frac{T}{3}$ ①
飞出速度大小为 $v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{q{U}_{0}^{\;}T}{3dm}）_{\;}^{2}+（\frac{q{U}_{0}^{\;}T}{3dm}）_{\;}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}q{U}_{0}^{\;}T}{3dm}$ ②
设速度v的方向与${v}_{0}^{\;}$的夹角为θ，则$tanθ=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=1$③
所以，方向水平方向右下角为θ=45°，大小$v=\frac{\sqrt{2}q{U}_{0}^{\;}T}{3dm}$
（2）当粒子由t=nT时刻进入电场，向下侧移最大，则${S}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a（\frac{T}{3}）_{\;}^{2}$ ④
且$a=\frac{q{U}_{0}^{\;}}{dm}$     ⑤
解得${S}_{1}^{\;}=\frac{q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{18dm}$
当粒子由$t=nT+\frac{1}{3}T$时刻进入电场，向上侧移最大，
则${S}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}a（\frac{2T}{3}）_{\;}^{2}+a（\frac{2T}{3}）（\frac{T}{3}）-\frac{1}{2}a（\frac{T}{3}）_{\;}^{2}$      ⑥
解得 ${S}_{2}^{\;}=\frac{7q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{18dm}$
所以，在距离O′中点上方$\frac{7q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{18dm}$ 至下方$\frac{q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{18dm}$范围内有粒子打出
（3）要使平行粒子能够交于圆形磁场区域边界且有最小区域时，磁场直径最小值与粒子宽度相等，

粒子宽度$D=\frac{4q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{9dm}cos45°$=$\frac{2\sqrt{2}q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{9dm}$      ⑦
故磁场区域的最小半径为$r=\frac{D}{2}=\frac{\sqrt{2}q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{9dm}$   ⑧
粒子在磁场中做圆周运动有$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$   ⑨
解得$B=\frac{3m}{qT}$
答：（1）粒子射出电场时的速度大小为$\frac{\sqrt{2}q{U}_{0}^{\;}T}{3dm}$，方向水平方向右下角为θ=45°；
（2）粒子打出电场时位置离O'点的距离范围，在距离O′中点上方$\frac{7q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{18dm}$ 至下方$\frac{q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{18dm}$范围内有粒子打出；
（3）若要使打出电场的粒子经某一垂直纸面的圆形区域匀强磁场偏转后，都能到达圆形磁场边界的同一个点，而便于再收集，则磁场区域的最小半径$\frac{\sqrt{2}q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{9dm}$，相应的磁感强度是$\frac{3m}{qT}$

点评 本题关键将粒子的运动沿着平行于初速度方向和垂直于初速度方向进行正交分解，然后根据运动学公式列式求解．解题的关键在于分析竖直方向上的运动规律，必要时可能通过作出竖直分运动的v-t图象进行分析求解．