Question

3．用导线绕一圆环，环内有一用同样导线折成的内接正方形线框，圆环与线框绝缘，如图1所示．圆环的半径R=2m，导线单位长度的电阻r₀=0.2Ω/m． 把它们放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于圆环平面（纸面）向里．磁感应强度B随时间t变化如图2所示．求：
（1）正方形产生的感应电动势；
（2）在0～2.0s内，圆环产生的焦耳热；
（3）若不知道圆环半径数值，在0～2.0s内，导线圆环中的电流与正方形线的电流之比．

Answer 1

分析 （1）求出正方形的面积，根据法拉第电磁感应定律求出正方形线框的感应电动势；
（2）根据电阻定律求出圆环的电阻，由法拉第电磁感应定律求出感应电动势，再由焦耳定律求出线框产生的焦耳热；
（3）根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律求出正方形方框的电流和导线圆环中的电流，在求出比值；

解答 解：（1）正方形面积为$S=2{R}_{\;}^{2}$，根据法拉第电磁感应定律得：$E=\frac{△B}{△t}•S=\frac{1.5-0.5}{2.0}×2×{2}_{\;}^{2}=4V$
（2）圆面积为$S′=π{R}_{\;}^{2}$，圆周长为L=2πR，圆环的电阻为：$r′=2πR{r}_{0}^{\;}=2×3.14×2×0.2=2.5Ω$
根据法拉第电磁感应定律得：$E′=\frac{△B}{△t}•S′=\frac{1.5-0.5}{2.0}×π×{2}_{\;}^{2}=6.3V$
在0～2.0s内，圆环产生的焦耳热为：$Q=\frac{E{′}_{\;}^{2}}{r′}t=\frac{6．{3}_{\;}^{2}}{2.5}×2J=31.75J$
（3）正方形方框中的电流为：$I=\frac{E}{r}$=$\frac{△B}{△t}•\frac{（2{R}_{\;}^{2}）}{4\sqrt{2}R{r}_{0}^{\;}}$
导线圆环中的电流为：$I′=\frac{E′}{r′}=\frac{△B}{△t}•\frac{（π{R}_{\;}^{2}）}{2πR{r}_{0}^{\;}}$
导线圆环中的电流与正方形线框的电流之比：$\frac{I′}{I}=\sqrt{2}$
答：（1）正方形产生的感应电动势为4V；
（2）在0～2.0s内，圆环产生的焦耳热为31.75J；
（3）若不知道圆环半径数值，在0～2.0s内，导线圆环中的电流与正方形线的电流之比$\sqrt{2}$

点评 本题利用法拉第电磁感应定律、电阻定律和欧姆定律研究电磁感应现象中电流的关系，常规题，关键是正确运用法拉第电磁感应定律求电动势．