Question

17．如图所示，横向宽度为L、纵向宽度足够大的区域内，直线PQ两侧分别存在强度相同、方向相反但均垂直于纸面的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从P点沿与PQ成θ=30°角的方向，以速度v射入下方磁场区域，粒子最终从Q点离开，不计粒子重力
（1）求磁场磁感应强度最小值；
（2）若粒子从Q点射出时的速度与从P点射入时相同，求粒子在磁场中的运动时间；
（3）撤去磁场，在纸面内加一与初速度v垂直的匀强电场，仍使粒子从P点射入并经过Q点，求电场强度的大小．

Answer 1

分析 （1）当粒子在磁场中运动的轨道半径最大时，速度最大，根据几何关系求出最大半径，结合半径公式求出磁感应强度的最小值．
（2）抓住粒子从Q点射出时速度与P点射入时速度相同，根据圆周运动的周期性，求出粒子在磁场中转动的圆心角的总和，根据粒子在磁场中运动的半径公式，结合周期性求出周期的大小，从而求出粒子在磁场中的运动时间．
（3）粒子在电场中做类平抛运动，将粒子的运动分解为垂直电场方向和沿电场方向，结合牛顿第二定律和运动学公式求出电场强度的大小．

解答 解：（1）当粒子在磁场中运动的轨道半径最大时，磁感应强度最小．如图所示．
根据几何关系知，粒子在磁场中运动的轨道半径r=$\frac{\frac{L}{2}}{sinθ}=\frac{L}{2sinθ}$．
根据$r=\frac{mv}{qB}$得，磁感应强度的最小值B=$\frac{mv}{qr}=\frac{2mvsinθ}{qL}$=$\frac{mv}{qL}$．
（2）若粒子从Q点射出时的速度与从P点射入时相同，
根据几何关系知，粒子在磁场中运动转过的角度α=4nθ，n=1，2，3…，
则粒子在磁场中运动的时间t=$\frac{4nθ}{2π}T$，
T=$\frac{2πr}{v}$，
根据几何关系有：$rsinθ=\frac{L}{4n}$，n=1，2，3…，
联立解得t=$\frac{πL}{3v}$．
（3）撤去磁场，在纸面内加一与初速度v垂直的匀强电场，
知粒子在垂直电场方向上运动的距离x=Lcosθ，沿电场线方向上的距离y=Lsinθ，
t=$\frac{x}{v}$，
y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}$，
联立解得E=$\frac{m{v}^{2}}{qLco{s}^{2}θ}$=$\frac{4m{v}^{2}}{3qL}$．
答：（1）磁场磁感应强度最小值为$\frac{mv}{qL}$；
（2）粒子在磁场中的运动时间为$\frac{πL}{3v}$；
（3）电场强度的大小为$\frac{4m{v}^{2}}{3qL}$．

点评 本题考查了带电粒子在磁场和电场中的运动，对于粒子在磁场中，关键确定圆心、半径和圆心角，结合半径公式和周期公式进行求解，对于粒子在电场中运动，掌握处理类平抛运动的方法，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．