Question

10．如图所示，将一质量为m的小环套在一半径为R的“半圆形”金属轨道上，并将轨道固定在竖直面内的A、B两点，直径AB与竖直半径OD夹角为60°．现将两根原长为R、劲度系数k=$\frac{mg}{R}$的弹性轻绳一端固定在小环上，另一端分别固定在A、B两点．已知弹性轻绳满足胡克定律，不计一切摩擦，重力加速度为g．将小环由A点正下方的C点静止释放，当小环运动到金属轨道的最低点D时，求：
（1）小环的速率v；
（2）金属轨道对小环的作用力F的大小．

Answer 1

分析 （1）对CD过程分析，根据机械能守恒定律可求得小环的速率v；
（2）由胡克定律求解AD段绳上的张力，再根据向心力公式进行分析即可明确小球受到的作用力大小．

解答 解：（1）在CD两点，弹性绳的弹性势能相等，由机械能守恒定律可得：
mg$\frac{R}{2}$=$\frac{1}{2}$mv²
得v=$\sqrt{gR}$；
（2）在D点，AD段弹性绳的伸长量x=（$\sqrt{3}$-1）R，BD段弹性绳弹力为0，
所以AD段弹性绳张力T=kx=$\frac{mg}{R}$（$\sqrt{3}$-1）R=（$\sqrt{3}$-1）mg
在D点时，设导轨对圆环的作用力F是向上的支持力
由向心力公式可知：
（$\sqrt{3}$-1）mgcos30°+F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$mg．
答：（1）小环的速率v为$\sqrt{gR}$；
（2）金属轨道对小环的作用力F的大小为$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$mg．

点评 本题考查机械能守恒定律以及向心力公式的应用，要注意正确分析过程，并能正确进行受力分析，能正确利用向心力公式列式即可求解．