题目内容

7．如图示，质量为m1的小球A用不可伸长的轻质细绳悬挂，从偏离竖直方向θ角位置静止释放，在最低点与静止小球B发生对心弹性碰撞，B球位于四分之一圆弧CD的圆心O处的光滑小支架上，圆弧半径与细绳长度均为R，OC边水平，B球质量为m2，A、B小球可视为质点，求
（1）A球摆到最低点与B球发生碰撞前绳子的拉力大小F；
（2）碰后B球的速度大小vB；
（3）小球B到达圆弧面的最小动能EK．

分析 （1）先由机械能守恒定律求出A球与B球碰撞前瞬间的速度．A球在最低点时，由合力充当向心力，由牛顿第二定律求绳子的拉力F．
（2）A球与B球发生弹性碰撞，根据动量守恒定律和机械能守恒定律结合求碰后B球的速度大小vB；
（3）碰后小球B平抛至圆弧，由分运动的规律和几何关系，求小球B到达圆弧面的最小速率，从而得到最小动能EK．

解答 解：（1）小球A下降过程，由机械能守恒得：
  m1gR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$
A球在最低点时，由牛顿第二定律有：
   F-m1g=m1$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得  F=m1g（3-2cosθ）                                    
（2）AB发生弹性碰撞，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得：
  m1v1=m1vA+m2vB．
由机械能守恒得：$\frac{1}{2}$m1v12=$\frac{1}{2}$m1vA2+$\frac{1}{2}$m2vB2．
解得  vB=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v1=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$$\sqrt{2gR（1-cosθ）}$
（3）碰后小球平抛至圆弧时，设竖直位移为y，水平位移为x．
则 x2+y2=R2
水平方向匀速运动，有 x=vBt
竖直方向自由落体，有 y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立解得 ${v}_{B}^{2}$=$\frac{g（{R}^{2}-{y}^{2}）}{2y}$
又由平抛过程机械能守恒有：m2gy=Ek-$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{B}^{2}$
解得 Ek=m2g（$\frac{{R}^{2}}{4y}$+$\frac{3y}{4}$）
由数学知识可知当 $\frac{{R}^{2}}{4y}$=$\frac{3y}{4}$时，即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R时动能具有最小值，最小值为 Ekmin=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m2gR
答：
（1）A球摆到最低点与B球发生碰撞前绳子的拉力大小F是m1g（3-2cosθ）；
（2）碰后B球的速度大小vB是$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$$\sqrt{2gR（1-cosθ）}$；
（3）小球B到达圆弧面的最小动能EK是$\frac{\sqrt{3}}{2}$m2gR．

点评 分析清楚运动过程是正确解题的基础，要抓住每个过程的物理规律，运用物理规律得到动能的表达式，再由数学知识求最小动能，这是常用的函数法，要学会运用．

练习册系列答案
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