题目内容

已知地球的半径为R,地球表面的重力加速度大小为g,万有引力常量为G,不考虑地球自转的影响.试求:
(1)卫星绕地球运行的第一宇宙速度v1的大小
(2)若卫星绕地球做匀速直线运动且运行周期为T,求卫星运行的轨道半径r
(3)由题干所给条件,推导出地球平均密度的ρ表达式.
(1)设卫星的质量为m,地球的质量为M,根据万有引力定律,
物体在地球表面附近满足
GMm
R2
=mg,
第一宇宙速度是指卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度,
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力,即
GMm
R2
=m
v21
R2
或m
v21
R2
=mg,
联立解得:v1=
Rg

(2)根据卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力得:
GMm
r2
=m
4π2
T2
r,
联立
解得:r=
3
gR2T2
4π2

(3)将地球看成是半径为R的均匀球体,其体积为V=
4
3
πR3
地球的平均密度ρ=
M
V
,联立解得:ρ=
3g
4πGR


答:(1)卫星绕地球运行的第一宇宙速度v1的大小为
Rg

(2)若卫星绕地球做匀速直线运动且运行周期为T,卫星运行的轨道半径r为
3
gR2T2
4π2

(3)地球平均密度的ρ表达式为
3g
4πGR
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