题目内容
已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响．试求：
（1）卫星绕地球运行的第一宇宙速度v1的大小
（2）若卫星绕地球做匀速直线运动且运行周期为T，求卫星运行的轨道半径r
（3）由题干所给条件，推导出地球平均密度的ρ表达式．
（1）卫星绕地球运行的第一宇宙速度v1的大小
（2）若卫星绕地球做匀速直线运动且运行周期为T，求卫星运行的轨道半径r
（3）由题干所给条件，推导出地球平均密度的ρ表达式．
（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，根据万有引力定律，
物体在地球表面附近满足
=mg，
第一宇宙速度是指卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，即
=m
或m
=mg，
联立解得：v1=
．
（2）根据卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力得：
=m
r，
联立
解得：r=
．
（3）将地球看成是半径为R的均匀球体，其体积为V=
πR3
地球的平均密度ρ=
，联立解得：ρ=
．
答：（1）卫星绕地球运行的第一宇宙速度v1的大小为
；
（2）若卫星绕地球做匀速直线运动且运行周期为T，卫星运行的轨道半径r为
；
（3）地球平均密度的ρ表达式为
．
物体在地球表面附近满足
| GMm |
| R2 |
第一宇宙速度是指卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，即
| GMm |
| R2 |
| ||
| R2 |
| ||
| R2 |
联立解得：v1=
| Rg |
（2）根据卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力得：
| GMm |
| r2 |
| 4π2 |
| T2 |
联立
解得：r=
| 3 |
| ||
（3）将地球看成是半径为R的均匀球体，其体积为V=
| 4 |
| 3 |
地球的平均密度ρ=
| M |
| V |
| 3g |
| 4πGR |
答：（1）卫星绕地球运行的第一宇宙速度v1的大小为
| Rg |
（2）若卫星绕地球做匀速直线运动且运行周期为T，卫星运行的轨道半径r为
| 3 |
| ||
（3）地球平均密度的ρ表达式为
| 3g |
| 4πGR |
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