Question

3．在电影中，“蜘蛛侠”常常能通过发射高强度的蜘蛛丝，穿梭于高楼大厦之间，从而成就了一系列的超级英雄传说．在某次行动中，蜘蛛侠为了躲避危险，在高为h_A=20m的A楼顶部进过一段距离L₀=14.4m的助跑后在N点水平跳出，已知N点离铁塔中轴线水平距离为L=32m，重力加速度为g=10m/s²，假设蜘蛛侠可看作质点，蜘蛛丝不能伸长．
（1）要使蜘蛛侠能落到铁塔中轴线上，他跳出的初速度至少为多少？
（2）由于体能的限制，蜘蛛侠的助跑最大加速度为5m/s²，在跳出1.6s后发现按照预定路线不能到达铁塔中轴线上，于是他立即沿垂直速度方向朝铁塔中轴线上某位置P发射蜘蛛丝，使得他在蜘蛛丝的作用下绕P点运动，假设蜘蛛丝从发射到固定在P点的时间可忽略不计，请问他能否到达铁塔中轴线上？如果能，请计算出到达的位置，如果不能，请说明原因．
（3）蜘蛛侠注意到在铁塔后方有一个小湖，他决定以5m/s²的加速度助跑后跳出，择机沿垂直速度方向朝铁塔中轴线上某位置发出蜘蛛丝，在到达铁塔中轴线时脱离蜘蛛丝跃入湖中，假设铁塔足够高，欲使落水点最远，他经过铁塔时的高度为多少？

Answer 1

分析 （1）蜘蛛侠做平抛运动，由平抛运动公式求解即可；
（2）根据平抛运动知识点求得1.6后的位置及速度，发射蜘蛛丝后蜘蛛侠做圆周运动，通过几何关系求的到地面的高度；
（3）利用动能定理求得脱手后的速度，再由平抛运动知识求得运动时间，进而求得水平位移表达式，由数学知识确定结果；

解答 解：（1）由题意得，蜘蛛侠离开楼顶后做平抛运动，下落高度为：h_A=20m，
竖直方向：${h}_{A}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，解得：t=2s
水平方向：L=v₀t．解得：v₀=16m/s
（2）假设能到达，在助跑阶段，以最大加速度a=5m/s²匀加速运动，设跳出速度v_x，
则由：${v}_{x}^{2}=2a{L}_{0}$，解得：v_x=12m/s
设经过1.6s后水平位移为x₁、竖直位移y₁、竖直速度为v_y，
x₁=v_xt=12×1.6=19.2m，
${y}_{1}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×10×1．{6}^{2}$=12.8m，
v_y=gt=10×1.6=16m/s
合速度与水平方向夹角：$tgθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$，θ=53° 由几何关系得：R=$\frac{L-{x}_{1}}{sin53°}$=$\frac{32-19.2}{0.8}=16m$，
离地面的高度：h=h_A-y₁-R（1-cos53°）=0.8m，故能到达塔的中线位置．
（3）设蜘蛛侠经过铁塔的位置高度为y，则脱手后的初速度为v，落地点离高塔的水平距离为x，
由动能定理得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{x}^{2}=mg（{h}_{A}-y）$，
y=$\frac{1}{2}gt{′}^{2}$，x=vt′
联立各式得：$x=\sqrt{4（27.2-y）y}$，
当y=27.2-y时，即y=13.6m时，水平距离x最大．
答：（1）要使蜘蛛侠能落到铁塔中轴线上，他跳出的初速度至少为16m/s
（2）能，到达的位置为离地面0.8m．
（3）欲使落水点最远，他经过铁塔时的高度为13.6m．

点评 本题是平抛运动和圆周运动相结合的典型题目，除了运用平抛运动和圆周运动的基本公式外，求速度的问题，动能定理不失为一种好的方法，再者是数学方法的应用．