题目内容

3．如图所示，倾角为θ的无限长斜面上PQ部分粗糙，且长为3L，其余部分都光滑．质量均为m的四个小物块（可视为质点）置于斜面，每相邻两物块间有一长为L且平行于斜面的轻杆，每根杆的上端与物块粘连而下端与物块不粘连，各物块与斜面PQ段的动摩擦因数均为2tanθ．A、B、C、D同时释放时A恰在P点，且各物块有相同的沿斜面向下的初速度，最终四个物块均能通过Q点．重力加速度为g．求：
（1）A在PQ段运动刚达到最大速度时的位置；
（2）物块C刚过P点时，杆对物块D的弹力；
（3）要使四个物块均能通过Q点最初释放各物块时的初速度应该满足的条件．

分析 （1）将四物块及杆看成整体，当它们下滑到下滑力等于摩擦力时运动速度达最大值，由此列式分析知道块B刚过P点，此时A离P点的距离为L．
（2）对四物块及杆整体运用用牛顿第二定律求出整体的加速度，再隔离D，由牛顿第二定律求杆对物块D的弹力．
（3）要使四物块都能滑出Q点，物块D过Q点时它的速度应大于零．对物块D从P到Q的过程用动能定理列方程．对整体进入PQ段过程用动能定理列式，求初速度应满足的条件．

解答 解：（1）由整体法，将四物块及杆看成整体，当它们下滑到下滑力等于摩擦力时运动速度达最大值，有：
μ•nmgcosθ=4mgsinθ…①
得到：n=2…②
即滑块B刚过P点，此时A离P点的距离为L…③
（2）对四物块及杆整体用牛顿第二定律得：
  μ•3mgcosθ-4mgsinθ=4ma…④
得到 a=$\frac{1}{2}$gsinθ，方向沿斜面向上…⑤
对物块D用牛顿第二定律得：
F-mgsinθ=ma…⑥
解得 F=$\frac{3}{2}$mgsinθ，方向沿斜面向上…⑦
（3）要使四个物块都能滑出Q处，物块D过Q点时它的速度应大于零．物块A离开Q点时，物块发生分离．设物块D刚过P点时的速度为v
对物块D从P到Q的过程用动能定理得
mgsinθ×3L-μmgcosθ×3L=0-$\frac{1}{2}$mv2 …⑧
解得：v=$\sqrt{6gLsinθ}$…⑨
设开始下滑时的初速度为v0，对整体进入PQ段过程用动能定理：
4mgsinθ×3L-μmgcosθ（3L+2L+L）=$\frac{1}{2}$×4mv2-$\frac{1}{2}$×4mv02 …⑩
解得：v0=v=$\sqrt{6gLsinθ}$…（11）
即释放时，初速度应大于$\sqrt{6gLsinθ}$…（12）
答：（1）A在PQ段运动刚达到最大速度时的位置离P点的距离为L；
（2）物块C刚过P点时，杆对物块D的弹力是$\frac{3}{2}$mgsinθ，方向沿斜面向上；
（3）要使四个物块均能通过Q点最初释放各物块时的初速度应应大于$\sqrt{6gLsinθ}$．

点评 本题首先要正确分析物块的受力情况，判断其运动情况，采用整体法和隔离法结合求物块间的弹力是比较惯用的方法．运用动能定理时，要求同学们能选取合适的过程．

练习册系列答案
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