题目内容
11．
如图，电阻不计足够长的两金属导轨平行倾斜放置，与水平面的夹角θ=30°，导轨间距为l，处于方向垂直于导轨平面强度为B的匀强磁场中．长度均为l的导体棒ab和cd垂直跨放在导轨上．ab棒的质量为m、电阻为r，与导轨间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．cd棒光滑，质量为2m、电阻为r．开始两棒均位于导轨顶端，现由静止同时释放两棒，当cd棒下滑的距离为x时，ab棒开始运动．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g．求：（1）ab棒开始运动时，cd棒的速度v；
（2）cd棒下滑x距离的过程中，ab棒中产生的焦耳热；
（3）cd棒运动过程中的最小加速度．
分析 （1）根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、安培力公式列式，再根据ab棒的受力平衡即可求解cd棒的速度；
（2）根据能量守恒定律求解回路的总热量，再根据电阻关系得出ab棒中产生的焦耳热；
（3）根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律得出安培力与速度的关系式，再根据牛顿第二定律分析两棒的加速度变化情况，ab刚开始运动时，${a}_{1}^{\;}＞{a}_{2}^{\;}$，两棒的速度差△v逐渐变大，安培力F继续变大，cd的加速度${a}_{1}^{\;}$减小、ab的加速度${a}_{2}^{\;}$增大，直到${a}_{1}^{\;}={a}_{2}^{\;}$，故两棒的速度差最终为定值．两棒最终的加速度为a，此即为cd棒的最小的加速度．
解答 解：（1）ab棒开始运动时，根据平衡条件得：
F+mgsinθ=μmgcosθ…①
而安培力F=BIl…②
根据闭合电路欧姆定律$I=\frac{E}{r+r}$…③
根据法拉第电磁感应定律：E=BLv…④
整理得$v=\frac{mgr}{2{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}}$…⑤
（2）设此过程中产生的总热量Q，根据能量守恒定律：
$Q=2mgxsinθ-\frac{1}{2}（2m）{v}_{\;}^{2}$…⑥
ab棒中产生的焦耳热${Q}_{1}^{\;}=\frac{r}{r+r}Q$…⑦
整理得${Q}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}mgx-\frac{{m}_{\;}^{3}{g}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}{8{B}_{\;}^{4}{l}_{\;}^{4}}$…⑧
（3）当ab运动后，某时刻cd、ab的速度分别用${v}_{1}^{\;}$、${v}_{2}^{\;}$表示，此后经过极短时间△t过程中，与导轨围成的矩形的面积变化△S为
$△S=l（{v}_{1}^{\;}△t-{v}_{2}^{\;}△t）$…⑨
根据法拉第电磁感应定律，ab、cd与导轨围成的闭合电路中的感应电动势
$E=\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B•△S}{△t}$…⑩
由②③④⑩得，此时每棒受到的安培力大小
$F=\frac{{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}（{v}_{1}^{\;}-{v}_{2}^{\;}）}{2r}$…⑪
设此时cd、ab的加速度分别为${a}_{1}^{\;}$、${a}_{2}^{\;}$
对cd：$2mgsinθ-F=2m{a}_{1}^{\;}$…⑫
对ab：$F+mgsinθ-μmgcosθ=m{a}_{2}^{\;}$…⑬
△t时间之后，两棒的速度为：
${v}_{1}^{′}={v}_{1}^{\;}+{a}_{1}^{\;}•△t$ ${v}_{2}^{′}={v}_{2}^{\;}+{a}_{2}^{\;}•△t$…⑭
ab刚开始运动时，${a}_{1}^{\;}＞{a}_{2}^{\;}$，两棒的速度差△v逐渐变大，安培力F继续变大，由⑫⑬知${a}_{1}^{\;}$减小、${a}_{2}^{\;}$增大，直到${a}_{1}^{\;}={a}_{2}^{\;}$，故两棒的速度差最终为定值．
由⑫⑬得，两棒最终的加速度为a，此即为cd棒的最小的加速度．
$a=\frac{1}{4}g$…⑮
答：（1）ab棒开始运动时，cd棒的速度v为$\frac{mgr}{2{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}}$；
（2）cd棒下滑x距离的过程中，ab棒中产生的焦耳热为$\frac{1}{2}mgx-$$\frac{{m}_{\;}^{3}{g}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}{8{B}_{\;}^{4}{l}_{\;}^{4}}$；
（3）cd棒运动过程中的最小加速度为$\frac{1}{4}g$．
点评 本题是电磁感应中的力学问题，综合运用电磁学知识、力平衡知识和牛顿第二定律进行求解．注意两个导体棒切割磁感线的有效速度为一个相对另一个的相对速度．
轻巧夺冠周测月考直通名校系列答案
如图的电路中，电阻R和电感线圈的自感系数L都较大，电感线圈的电阻不计，A、B是两只完全相同的灯泡，下面判断正确的是（ ）| A． | S闭合时，B比A先亮；再断开S时，A、B同时熄灭 | |
| B． | S闭合时，A、B同时亮，然后B熄灭；再断开S时，A、B逐渐熄灭 | |
| C． | S闭合时，A、B同时亮，然后B逐渐熄灭；再断开S时，A立即熄灭、B先变亮再逐渐熄灭 | |
| D． | 电路稳定后，断开S时，通过B的电流方向向右 |
如图所示，A、B是真空中的两个等量异种点电荷，M、N、O是AB连线的垂线上的点，且AO＞OB，一带负电的试探电荷仅受电场力作用，运动轨迹如图中实线所示，M、N为轨迹和垂线的交点，设M、N两点的场强大小分别为EM、EN，电势分别为φM、φN，下列说法中正确的是（ ）| A． | EM小于EN | |
| B． | 点电荷A一定带正电 | |
| C． | φM大于φN | |
| D． | 此试探电荷在M处的电势能小于N处的电势能 |
如图所示，两根平行金属导轨MN、PQ相距d=1.0m，导轨平面与水平面夹角α=30°，导轨上端跨接一定值电阻R=1.6Ω，导轨电阻不计．整个装置处于方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小B=1.0T的匀强磁场中，金属棒ef垂直于MN、PQ静止放置，且与导轨保持良好接触，其长度刚好为d、质量m1=0.10kg、电阻r=0.40Ω，距导轨底端的距离s1=3.75m．另一根与金属棒平行放置的绝缘棒gh长度也为d，质量为m2=0.05kg，从轨道最低点以速度v0=10m/s沿轨道上滑并与金属棒发生正碰（碰撞时间极短），碰后金属棒沿导轨上滑一段距离后再次静止，此过程中流过金属棒的电荷量q=0.1C且测得从碰撞至金属棒静止过程中金属棒上产生的焦耳热Q=0.05J．已知两棒与导轨间的动摩擦因数均为μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，g=10m/s2．求：
图中为一“滤速器”装置示意图，a、b 为水平放置的平行金属板，一束具有 各种不同速率的电子沿水平方向经小孔 O 进入 a、b 两板之间．为了选取具有某 种特定速率的电子，可在 a、b 间加上电压，并沿垂直于纸面的方向加一匀强磁 场，使所选 电子仍能够沿水平直线 OO'运动，由 O'射出．不计重力作用．可能 达到上述目的办法是（ ）| A． | 使 a 板电势高于 b 板，磁场方向垂直纸面向里 | |
| B． | 使 a 板电势低于 b 板，磁场方向垂直纸面向里 | |
| C． | 使 a 板电势高于 b 板，磁场方向垂直纸面向外 | |
| D． | 使 a 板电势低于 b 板，磁场方向垂直纸面向外 |
如图所示，斜面底端上方高h处有一小球以水平初速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，斜面的倾角为30°，则关于h和初速度v0的关系（ ）| A． | h=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{g}$ | B． | h=$\frac{{{3v}_{0}}^{2}}{2g}$ | C． | h=$\frac{{{2v}_{0}}^{2}}{g}$ | D． | h=$\frac{{{5v}_{0}}^{2}}{2g}$ |
| A． | 甲、乙两物体均做匀加速直线运动 | |
| B． | 甲、乙两物体均做匀减速直线运动 | |
| C． | 甲物体做匀减速直线运动，乙物体做非匀变速直线运动 | |
| D． | 甲物体的加速度大小为6m/s2 |
| A． | A、B两车的位移之比为12：11 | |
| B． | 玩具车A的速度为2v0时其功率为此时玩具车B功率的4倍 | |
| C． | 两车所受水平面的阻力做功的比值为11：12 | |
| D． | 两车牵引力做功的比值为3：2 |