Question

6．从中国航天科技集团获悉，2015年，我国计划完成20次宇航发射，将超过40颗航天器送入太空，无论是发射航天器的次数还是数量，都将创下中国航天历史新高．某同学设想将如下装置放置于稳定运行的处于完全失重状态下的宇宙飞船中，如图所示，两半径均为R=0.2m的光滑半圆轨道 PM、QN在同一竖直面内放置，M、N处于同一水平面上，两半圆轨道刚好与水平面MN相切，图中虚线方框内有竖直向下的匀强电场，场强为E，电场区域的水平宽度L_MF=0.2m．带电荷量为+q、质量为m=1kg的两相同滑块A、B固定于水平面上，它们不在电场区域，但A靠近F，他们之间夹有一压缩的绝缘弹簧（不连接，弹簧的压缩量不计），滑块与水平面间的动摩擦因数u=0.5，．已知Eq=2N．
（1）如果弹簧储存的弹性势能E_P0=1J，求自由释放A、B后B在Q点所受的弹力大小；
（2）如果释放A、B后，要求两者只能在MF间相碰，求弹簧储存的弹性势能E_P的取值范围．

Answer 1

分析 （1）研究弹簧释放过程，根据动量守恒定律和机械能守恒定律求出A、B获得的速度大小．B在Q点，由牛顿第二定律求出B在Q点所受的弹力大小．
（2）释放A、B后，两者获得的初速度大小相同，若A能通过电场，通过电场的最长可能时间为 t_Am=$\frac{2{L}_{MF}}{v}$，B运动到M处需要的时间t_B＞$\frac{2πR}{v}$，即有t_Am＜t_B．若A、B只能在MF间相碰，则A一定在相碰前就停在MF间．对于A停在M点时和A停在MF中点时，运用动能定理求E_P的取值，从而得到E_P的取值范围．

解答 解：（1）设A、B分离后获得的速度大小分别为v₁、v₂，取向左方向为正方向，由系统动量守恒有：
0=mv₁-mv₂
由机械能守恒有：E_P0=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²
解得：v₁=v₂=1m/s
由于完全失重，B在半圆轨道上做匀速圆周运动，B在Q点，由牛顿第二定律有：
N=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$=5N
（2）由（1）可知，释放A、B后，两者获得的初速度大小相同，设为V，若A能通过电场，通过电场的最长可能时间为t_Am=$\frac{2{L}_{MF}}{v}$，B运动到M处需要的时间t_B＞2πR/v，有t_Am＜t_B．所以，若A、B只能在MF间相碰，则A一定在相碰前就停在MF间．由于A、B初速度大小相等，故两者在电场区域运动的最大位移相等，要满足在电场区域相碰，则A至少应运动到MF的中点，至多运动到M点．
由能量守恒有：E_P=2×$\frac{1}{2}$mv²
A停在M点时，由动能定理有：-μEqL_MF=0-$\frac{1}{2}$mv²
A停在MF中点时，由动能定理有：-μEq$\frac{{L}_{MF}}{2}$=0-$\frac{1}{2}$mv²
两种情况对应的E_P分别为0.4J、0.2J
故0.2J＜E_P＜0.4J
答：（1）自由释放A、B后B在Q点所受的弹力大小是5N．
（2）弹簧储存的弹性势能E_P的取值范围是0.2J＜E_P＜0.4J．

点评 解决本题的关键要分析清楚两个物体的运动情况，判断能量的转化情况，分析隐含的临界条件．要注意在完全失重情况下，B在Q点，仅由弹力提供向心力，不能将重力加进去．