Question

18．如图所示，半径为R、上表面水平的半球形（O为球心）玻璃砖悬空水平放置，其下方水平放置着面积足够大的光屏，直径MN与光屏间距为d=2$\sqrt{2}$R．一束单色光垂直于玻璃砖上表面射入，恰好布满玻璃砖的上表面，其中部分光经玻璃砖折射后能够照到光屏上．已知玻璃砖对该光的折射率n=$\sqrt{2}$，求光屏上被光照亮的面积．（不计光在玻璃砖内的反复反射）

Answer 1

分析 作出半圆柱体的横截面．光线在透光的边界恰好发生全反射，入射角等于临界角，即可由折射定律求出光线在柱面上的入射角，由几何知识求面积S．

解答 解：根据题设做出光路图如图所示

设光在玻璃中的临界角为α，则sinα=$\frac{1}{n}$，
α=45°
对应的临界光线AQ的折射角为β=90°
由几何关系可知三角形APO为等腰直角三角形
PA=PO=Rsinα=Rsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}R$，
又几何关系 AQ=$\frac{d-PA}{cos（β-α）}=3R$
光屏上被光束照亮的部分是圆形，其半径：
r=AQsin（β-α）-$\frac{\sqrt{2}}{2}R$=$\sqrt{2}R$，
圆形面积为：S=πr²=2πR²
答：光屏上被该光照亮的面积为2πR²．

点评 本题考查了几何光学的基本运用，关键抓住光线在界面上发生全反射，结合折射定律和几何关系综合求解，难度不大．